본 연구 과제에서 고려해야 할 주안점은 4차 수치적인 방법을 개발하는 것이다. 이를 위해서는 다음과 같은 구체적인 사항들을 반영해야 한다. 첫째로, 제시된 적분-미분 연산자에서 적분 항을 이산화하는 것이다. 여기에서는 4차 정확성을 가지는 이산화가 필요하기 때문에 composite Simpson’s rule을 적용하면 될 것이다. 또는 그 이상의 정확성을 갖는 비교적 간단한 형태의 quadrature rule이 있는지를 확인해 보는 것도 하나의 점검 사항이 될 것이다. 그 다음에는 계산의 효율적을 위해서 fast Fourier transform (FFT)와 discrete Fourier transform (DFT)를 적용할 수 있는지 확인해 볼 것이다. 기본적으로 2차 정확성을 가지는 알고리즘과 최대한 유사하게 계산 속도를 맞추기 위해서는 FFT와 DFT의 적용이 필요한데, 이를 위해서는 적분 항의 근사인 이산화 형태가 Toeplitz matrix 형태로의 변형이 요구될 것으로 판단된다. 둘째로, 우리는 시간과 로그 가격에 대해서 4차 정확성을 확보해야 한다. x에 대한 4차 근사 형태는 에 대한 형태로 전개할 수 있는 방법과 u와 u_x에 대한 형태로 전개할 수 있는 방법이 있다. 전자에서 언급한 u만을 이용한다면 이산화된 방정식의 행렬 형태는 3중 대각 행렬을 넘어서는 5중 이상의 대각 행렬로 표현될 것이다. 후자의 방법은 u와 u_x에 대해서 3중 대각 행렬을 요구하지만, u_x에 대한 4차 정확한 근사가 요구된다. 이러한 방법은 compact numerical method를 적용하면 비교적 쉽게 이산화될 수 있다. 각각의 장점과 단점이 있겠지만, 전자의 방법은 ‘5중 이상의 대각 행렬로 이산화 방정식을 만들었을 때, 안정성을 증명할 수 있느냐?’가 관건을 것이고, 후자의 방법은 미분 항이 혼합되어 있기 때문에 이 부분에 대한 해석이 요구될 것이다. 다양한 문헌들과 주어진 방정식에 부합하는 수학적인 해석을 통하여 적절한 알고리즘을 제안할 계획이다. 셋째로, 위의 첫째와 둘째의 문제점들을 해결하여 디자인된 방정식은 시간에 대한 1계 선형 미분 방정식의 행태로 귀결된다. 시간에 대한 미분 항을 4차 근사하기 위한 수치적인 알고리즘이 요구된다. Runge-Kutta method 같은 여러 가지 수치 방법들을 결합하여 시간과 로그 가격에 대한 격자들이 선형으로 비례하는 관계에서 4차 수치적인 알고리즘을 제안하고 안정성을 보이고자 한다. 아울러 증명의 현상이 실제적으로 구현이 되는지를 수치적인 실험을 통하여 뒷받침하고자 한다.

본 연구 과제에서 고려해야 할 주안점은 4차 수치적인 방법을 개발하는 것이다. 이를 위해서는 다음과 같은 구체적인 사항들을 반영해야 한다. 첫째로, 제시된 적분-미분 연산자에서 적분 항을 이산화하는 것이다. 여기에서는 4차 정확성을 가지는 이산화가 필요하기 때문에 composite Simpson’s rule을 적용하면 될 것이다. 또는 그 이상의 정확성을 갖는 비교적 간단한 형태의 quadrature rule이 있는지를 확인해 보는 것도 하나의 점검 사항이 될 것이다. 그 다음에는 계산의 효율적을 위해서 fast Fourier transform (FFT)와 discrete Fourier transform (DFT)를 적용할 수 있는지 확인해 볼 것이다. 기본적으로 2차 정확성을 가지는 알고리즘과 최대한 유사하게 계산 속도를 맞추기 위해서는 FFT와 DFT의 적용이 필요한데, 이를 위해서는 적분 항의 근사인 이산화 형태가 Toeplitz matrix 형태로의 변형이 요구될 것으로 판단된다. 둘째로, 우리는 시간과 로그 가격에 대해서 4차 정확성을 확보해야 한다. x에 대한 4차 근사 형태는 에 대한 형태로 전개할 수 있는 방법과 u와 u_x에 대한 형태로 전개할 수 있는 방법이 있다. 전자에서 언급한 u만을 이용한다면 이산화된 방정식의 행렬 형태는 3중 대각 행렬을 넘어서는 5중 이상의 대각 행렬로 표현될 것이다. 후자의 방법은 u와 u_x에 대해서 3중 대각 행렬을 요구하지만, u_x에 대한 4차 정확한 근사가 요구된다. 이러한 방법은 compact numerical method를 적용하면 비교적 쉽게 이산화될 수 있다. 각각의 장점과 단점이 있겠지만, 전자의 방법은 ‘5중 이상의 대각 행렬로 이산화 방정식을 만들었을 때, 안정성을 증명할 수 있느냐?’가 관건을 것이고, 후자의 방법은 미분 항이 혼합되어 있기 때문에 이 부분에 대한 해석이 요구될 것이다. 다양한 문헌들과 주어진 방정식에 부합하는 수학적인 해석을 통하여 적절한 알고리즘을 제안할 계획이다. 셋째로, 위의 첫째와 둘째의 문제점들을 해결하여 디자인된 방정식은 시간에 대한 1계 선형 미분 방정식의 행태로 귀결된다. 시간에 대한 미분 항을 4차 근사하기 위한 수치적인 알고리즘이 요구된다. Runge-Kutta method 같은 여러 가지 수치 방법들을 결합하여 시간과 로그 가격에 대한 격자들이 선형으로 비례하는 관계에서 4차 수치적인 알고리즘을 제안하고 안정성을 보이고자 한다. 아울러 증명의 현상이 실제적으로 구현이 되는지를 수치적인 실험을 통하여 뒷받침하고자 한다.

본 과제는 기업이 망할 위험(부도)을 조기에 파악하도록, 정형 데이터(재무·주식 등)와 비정형 데이터(뉴스·공시·웹게시판·기업 SNS 등)를 함께 분석하는 AI 기업 건전성 예측 서비스 개발임. 연구 목표는 최적화된 AI알고리즘으로 기업의 재무 건전성 및 부도 예측 정보를 검색/Open-API/알림 기능을 통해 제공하고, 주기적으로 수집·분석해 최신 데이터 유지함. 핵심 연구 내용은 정형·비정형 데이터 정의·특성 추출, 수집 시스템 구현, 머신러닝 학습/분석 기능 최적화로 분석 시스템 및 웹서비스 구현, 2차년도에 비정형 기반 고도화와 Open-API 및 부도 위험 기업 알림 서비스 구현임. 기대 효과는 상장·비상장 기업과 기관의 경영 계획·예측, ERP/MES 연계 빅데이터 분석 활용, 사업·비용·투자·재무·자금 계획 수립, 전문 컨설팅 자료 제공에 활용 가능함.

연구목표에서 제시한 문제들을 해결하기 위해서는 다음과 같은 순서로 전개하고자 한다. 첫 번째, 현금 흐름 함수의 닫힌 해를 구한다. 그리고 닫힌 해가 수렴할 조건을 찾고 특정한 조건에서 수렴한 해가 무한의 시간 문제와 일치하는지를 확인한다. 두 번째, 닫힌 해를 바탕으로 목적함수를 찾는다. 선형 상보성 문제는 닫힌 해로 표현하는 것이 현재까지는 불가능하기 때문에 수치적인 근사 해를 구현하는 것이 의미가 있다. BDF2 또는 Crank-Nicolson 방법들을 활용하여 2차 또는 그 이상의 수치적인 알고리즘을 구현하고자 한다. 특히, 비국소적인 적분 항을 다루기 위해서 fixed-point 반복법을 많이 이용하는데, 저는 각각의 시간 층에서 반복법을 피하는 수치적인 방법들을 개발하였음으로 이를 활용하면 컴퓨터 계산의 양을 효율적으로 줄일 수 있을 것으로 기대된다. 세 번째, 위에서 구현한 알고리즘을 바탕으로 목적함수의 값들을 계산하고, 투자로부터 발생하는 현금 흐름의 만기일인 를 무한대로 보냈을 경우 무한의 문제로 수렴하는지를 관찰한다. 더 나아가서, 언제 투자를 하는 것이 최적인지를 결정하는 최적 경계 함수를 찾음으로써 실물옵션에서 의사결정에 관련된 정보를 제공하도록 한다. 네 번째, 국면 전환형 모형에서는 국면은 언제 전환되는지를 파악하는 것이 어려운데, 현재의 경기상황을 모를 때, 즉, 부분 정보가 주어진 상황에서 현금 흐름 함수와 목적함수를 유도하고 이에 관한 수치적인 연구를 진행할 예정이다. 다섯 번째, 무한 점프 모형 또는 확률 변동성 모형 같은 형태로 일반화할 수 있는지를 살펴보고 여러 기법의 수치적인 방법들을 동원하여 구현해 보고자 한다. 다른 한편으로는 산업의 문제들과 결합하여 최적 투자 시점의 정보를 제공할 수 있도록 시스템을 구축해 보고자 한다. 그 외에 이론들을 전개하면서 부수적으로 파생되는 여러 가지 문제들을 다루도록 할 것이다. 연구 흐름의 커다란 전개는 위의 순서대로 나아갈 계획이며, 진행을 하면서 발생하는 파생적인 문제들을 추가적으로 다룰 계획이다.