이 연구 주제는 옵션을 비롯한 금융 파생상품의 가격을 보다 현실적으로 평가하기 위해 확률과정 기반의 수학적 모형을 정교화하는 데 초점을 둔다. 전통적인 블랙-숄즈 모형은 자산 가격의 연속적 변동을 가정하지만, 실제 시장에서는 급격한 가격 점프, 변동성 변화, 경기 국면 전환과 같은 비연속적 현상이 자주 관찰된다. 이에 따라 연구실은 점프-확산 모형, 레비 과정, 국소 변동성 모형 등을 활용해 시장의 불연속성과 비정상성을 설명할 수 있는 가격결정 체계를 연구한다. 구체적으로는 유럽형 옵션, 아메리칸 옵션, 아시안 옵션, 실물옵션 등 다양한 파생상품을 대상으로 모형을 설정하고, 그로부터 유도되는 편미분방정식 또는 편적분-미분방정식을 해석한다. 점프가 포함된 모형에서는 가격 결정식이 비국소 항을 포함하게 되므로 계산 난도가 크게 증가하는데, 이를 안정적이고 정확하게 다루기 위한 수치기법 개발이 핵심이다. 또한 시장 데이터에 맞는 모수 추정과 보정(calibration)을 통해 이론 모형이 실제 거래 자료와 잘 부합하도록 만드는 문제도 함께 연구한다. 이 연구는 단순한 이론 정립을 넘어 실제 금융시장 의사결정과 리스크 관리에 직접 연결된다는 점에서 의미가 크다. 무차익 조건을 만족하는 옵션 가격 예측, 점프 위험을 반영한 헤지 전략, 시장 급변 상황에서의 가격 민감도 분석 등은 금융공학의 실무적 요구와 밀접하다. 연구실의 관련 논문과 특허는 이러한 수학적 모형화와 예측 기술이 학문적 기여뿐 아니라 실제 가격 예측 문제에도 응용될 수 있음을 보여준다.

연구실의 핵심 축 가운데 하나는 금융수학에서 유도되는 편적분-미분방정식(PIDE)을 효율적으로 풀기 위한 수치해석 방법의 개발이다. 점프를 포함한 확률모형에서는 일반적인 편미분방정식보다 더 복잡한 형태의 방정식이 등장하며, 이 방정식은 시간과 자산 가격 변수에 대한 미분항뿐 아니라 적분항까지 포함한다. 따라서 단순한 수치 이산화만으로는 충분한 정확도와 안정성을 확보하기 어렵고, 문제 구조에 적합한 고차 알고리즘 설계가 필수적이다. 이 연구실은 유한차분법, 콤팩트 유한차분법, Crank-Nicolson 계열 기법, 연산자 분할 기법 등 다양한 수치기법을 활용하여 해의 안정성, 수렴성, 오차 추정 문제를 체계적으로 분석한다. 특히 점프-확산 모형이나 레짐전환 모형처럼 계산 복잡도가 높은 상황에서 삼중대각 행렬 구조를 활용한 효율적 선형계 풀이, 시간 단계별 정밀도 향상, 2차 및 4차 정확도 달성 등 실질적인 계산 성능 개선을 목표로 한다. 관련 국가연구과제에서도 고차 정확성을 갖는 알고리즘 개발이 중요한 목표로 제시되어 있다. 이러한 수치해석 연구는 금융문제 해결을 위한 기반 기술이라는 점에서 중요하다. 정확하고 빠른 알고리즘이 확보되어야만 복잡한 파생상품의 가격 산출, 민감도 계산, 대규모 시뮬레이션, 실시간 예측 등이 가능해진다. 나아가 이 연구는 금융수학에 국한되지 않고, 비국소 항을 포함하는 다양한 응용수학 문제로 확장될 수 있어 계산수학 전반에 기여할 가능성이 크다. 즉, 본 연구실의 수치해석 연구는 이론적 엄밀성과 계산 실용성을 함께 추구하는 응용수학적 성격을 가진다.

연구실은 금융자산의 가격결정뿐 아니라 실물투자 의사결정 문제를 수학적으로 다루는 실물옵션 연구도 수행한다. 실물옵션은 기업의 투자, 연기, 확장, 철수 같은 전략적 선택을 옵션의 관점에서 평가하는 방법으로, 불확실성이 큰 환경에서 경영 의사결정을 정량화하는 데 유용하다. 특히 경기 상태가 바뀌거나 외부 충격이 발생하는 현실을 반영하기 위해 레짐전환(regime-switching)과 점프가 결합된 확률모형을 사용한다. 이러한 문제에서는 단순한 기대가치 비교를 넘어서 최적 정지(optimal stopping), 벨만 방정식, 자유경계 문제 등이 등장한다. 연구실은 유한 시간 구간에서의 투자 결정, 비가역적 투자 문제, 소비 및 투자 선택 문제 등 다양한 최적화 상황을 다루며, 상태 전환과 점프가 존재할 때 가치함수의 구조와 최적 정책을 분석한다. 최근 학술발표에서도 bounded consumption, job switching, irreversible investment와 같이 경제적 제약조건이 있는 문제들을 다루고 있어, 순수한 가격평가를 넘어 동태적 의사결정 문제로 연구 영역을 확장하고 있음을 보여준다. 이 연구는 금융공학, 응용수학, 경제적 의사결정 이론이 만나는 융합 분야라는 점에서 가치가 크다. 시장 불확실성과 구조 변화가 큰 상황에서 기업과 투자자는 단순 평균 예측이 아니라 상황별 대응 전략을 필요로 하는데, 레짐전환 기반 실물옵션 분석은 이를 위한 수리적 근거를 제공한다. 따라서 본 연구는 투자 타이밍, 리스크 대응, 전략적 자원 배분과 같은 실제 문제에 대해 정량적이고 해석 가능한 의사결정 도구를 제시하는 방향으로 발전하고 있다.