본 연구 개발의 목표은 크게 두 가지로 요약되며 각 세부내용은 다음과 같다.1. 다양한 형태를 가지는 fractional 미분방정식의 고차 수치 해법을 개발한다. 크게 fractional 상미분 방정식 및 fractional 편미분 방정식으로 구분되며 각 방정식들의 일반적 수치 해법 및 각 방정식들의 특수한 방정식 형태를 살펴보고 그 특수성에 맞는 해법을 ...

본 연구는 크게 4가지로 구분되어진다. 첫번째로는 fractional 상미분 방정식의 다양한 수치 해법을 구하고자 한다. 우선 Krylov deferred correction (KDC)기법을 적용하여 수치 해법을 만들고자 한다. 이를 기반으로 Bagley-Torvik 특수 방정식을 풀 것이다. 이를 위해 KDC기법의 기본이 되는 spectral integration방법을 이용하여 fractional의 미분자를 정리하여 nonlinear system으로 변 환하여 수치 해법을 완성할 것이다. 이 문제가 해결이 되면 일반적인 multi-term fractional 미분방 정식의 수치 해법을 구할 수 있다. 두번째로는 fractional의 편미분방정식의 풀이 해법이다. 편미분 방정식은 time fractional과 space fractional 두가지로 구분되며 time fractional을 위해서는 위 의 상미분 방정식을 위해 개발한 방식을 적용하여 time fractional을 해결할 예정이다. space fractional을 위해서는 기존의 MoL 방식이 아닌 MoL-transpose방식을 이용하여 이산화를 시도할 것이며 그 결과로 fractional elliptic 방정식을 유도할 수 있다. 이를 해결 하기 위해 fractional elliptic 방정식의 해법을 연구할 계획이다. 세번째로는 fractional 미분방정식의 인공지능 기법을 이용한 풀이해법 연구이다. 이를 위해 에러보정방법을 사용한 인공지능 방식을 제안할 것이며 기존 해법을 기반으로 에러부분을 full neural network 인공지능방식을 이용하여 수치 해를 구할 것이다. 마지막으로는 병렬화 방식을 이용한 풀이해법 연구이다. 이를 위해 parareal 방식을 이용한 병렬 화 방식을 사용할 것이다. 기존 fractional 풀이 해법 중 fractional 의 연산자 해결을 위해 과거 시 점을 현 시점과 동시에 풀어야 할 때, 과거 시점 부분을 이산화 하여 parareal을 적용하여 빠르게 풀 어내고자 한다. 과거 시점을 정확하고 빠르게 풀어내는 것이 기존 방식의 효율성을 높이는 것이므로 parareal 을 이용하여 과거 시점을 정확하게 빠르게 풀어낸다면 전체적인 방식의 효율성을 높일 수 있을 것이라 예상한다. 이렇게 연구되어진 모든 방식들은 (1) 의료영상 (2) 반사계 (3) 전기회로에서 유도되어진 응용문제에 적용하여 그 효율성을 확인할 것이다.

본 연구 개발의 목표은 크게 두 가지로 요약되며 각 세부내용은 다음과 같다.1. 다양한 형태를 가지는 fractional 미분방정식의 고차 수치 해법을 개발한다. 크게 fractional 상미분 방정식 및 fractional 편미분 방정식으로 구분되며 각 방정식들의 일반적 수치 해법 및 각 방정식들의 특수한 방정식 형태를 살펴보고 그 특수성에 맞는 해법을 ...

본 연구는 2년 9개월에 걸쳐 진행될 예정이며 그 내용은 다음과 같다. 1차 년도에는 기 개발된 기계학습 방법 중 다양한 인공신경망 방법에 대한 수학적 분석을 할 예정이다. 이를 위해 기 개발된 기계학습방법의 중 순환인공신경망 방법(RNN, LSTM)의 수학적 분석을 실시할 것이며 동시에 기 개발된 기계학습방법의 중 합성곱 인공신경망 방법(CNN)의 수학적 분석을 할 예정이다. 또한 각 인공신경망에 사용되는 최적화 방법의 수리적 분석을 진행하고자 한다. 우선적으로 인공신경망(RNN, CNN) 수치 계산에 사용되는 최적화 방법의 수리적 분석을 할 것이다. 2차년 도에는 1차 년도에 연구한 내용을 바탕으로, 인공신경망들의 고차 알고리즘을 개발하고자 한다. 이를 위해 1차 년도에 분석되어진 인공신경망들의 수학적 분석을 기반으로 고차 (higher order) 알고리즘 개발하고 최적화(optimization)방법의 고차(higher order) 알고리즘도 함께 개발 할 예정이다. 3차년 도에는 개발되어진 고차 인공신경망 알고리즘을 우선적으로 분석하여 이를 바탕으로 인공신경망에 대한 미분방정식으로의 모델링을 할 예정이다. 새로 모델링 되어진 미분방정식은 기존 수치적 방법들을 이용하여 수치 해법을 구하고 보완점을 개발 할 것이다. 또한 개발된 미분 방정식을 위한 수치 방법의 병렬화 방법 연구를 진행 할 것이며 본 연구에서 개발되어진 알고리즘들을 실제 공학문제들(의료, 물리, 영상장비) 적용하고 그것의 응용 가능성을 확인하고, 실제 문제 적용에서 다시 대두되어지는 취약점과 특징들을 분석 연구하여, 새로운 병렬화 기법들을 다시 변형 발전할 수 있는 여지를 제공함으로써 본 연구를 마무리 할 계획이다.