우리는 자기유사 타일링에서 패치(patch)의 반복을 연구한다. 특히 산술적 진행(arithmetic progressions)의 존재 및 비존재를 다룬다. 먼저, 팽창 사상(expansion map)이 만족하는 산술적 조건이 자기유사 타일링에서 1차원 산술적 진행의 비존재를 함의함을 보인다. 다음으로, 특정 부류의 자기유사 타일링에 대하여, 전랭크(infinite full-rank) 무한 산술적 진행의 존재, 순수점(point) 동역학 스펙트럼(pure point dynamical spectrum)을 갖는 것, 그리고 극한 주기성(limit periodic)을 갖는 것이 모두 동치임을 보인다. 마지막으로 1차원 경우에 대해 완전한 그림을 제시한다.

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