우리는 위의 자기동형 타일링(self-affine tilings)에서 패치(patch)의 반복을 연구한다. 특히, 등차수열(arithmetic progressions)의 존재와 비존재를 다룬다. 먼저, 자기동형 타일링에서 팽창 사상(expansion map)에 대한 산술적 조건이 특정한 일차원 등차수열의 비존재를 의미함을 보인다. 다음으로, 어떤 부류의 자기동형 타일링에 대해서는 완전한 위수(full-rank) 무한 등차수열, 순수한 이산 동역학 스펙트럼(pure discrete dynamical spectrum), 그리고 한계 주기성(limit-periodicity)이 모두 서로 동치임을 보인다. 마지막으로, 위의 자기유사 타일링(self-similar tilings)에서 완전한 위수 무한 등차수열의 존재 또는 비존재에 대한 완전한 그림을 제시한다.
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