- 1년차(2022): 기억에 의존하면서 일반적인 연결 네트워크를 갖는 복잡계 모형에 대한 정량적 분석복잡계를 설명하는 많은 상미분방정식 모형 내에는 각 개체 간의 상호작용을 설명하는 부분이 존재한다. 이러한 상호작용은 장애물 같은 외부의 간섭으로 인해 중단되는 상황이 생길 수 있다. 이를 고려하기 위해 일반적인 연결 네트워크를 모형에 도입하는데, 여기에 Caputo 미분을 도입하여 시간에 따른 행동 양상을 연구하는 것이 1년차 주요 연구과제이다. 본 연구자는 새나 물고기 떼의 플로킹 현상을 설명하는 쿠커-스메일 모형에 대해 일반적인 연결 네트워크와 Caputo 미분이 주어진 경우 해의 시간에 따른 움직임과 관련하여 정량적인 결과를 도출한 바 있다. 이러한 결과를 동기화 현상을 기술하는 쿠라모토, 윈프리 모형과 같은 다른 복잡계 모형에 대해 확장하고자 한다.- 2년차(2023): Hybrid fractional 모형의 도입 및 연구Caputo 미분이 도입된 모형을 다수의 무인기를 통제하는 문제와 같은 상황에 적용한다고 하면, 각각의 무인기마다 이전의 모든 움직임에 대한 데이터를 계속해서 다 보유하면서, 그것들을 가지고 계산해야 하기에 효율적이지 못하다. 이러한 단점을 보완하기 위해 2년차에는 Hybrid fractional 모형이라는 것을 도입 및 연구해보고자 한다. 간략히 말하자면 각 개체의 움직임을 특정 시간 구간 동안은 그 시간대에서의 가중 평균치만을 가지고 계산하는 모형이다. 이렇게 되면 저장해야 할 데이터의 양과 그 데이터를 이용해서 계산해야 하는 양이 획기적으로 줄어든다는 장점이 존재한다. 그러나 이러한 Hybrid fractional 모형은 기존의 Caputo 미분을 도입한 모형과는 분명히 다르므로, 어떤 차이가 있는지 확인할 필요가 있다. 그래서 기존 Caputo 미분이 도입된 모형과 hybrid fractional 모형에서 관찰되는 시간에 따른 해의 움직임이 얼마나 차이를 보이는지, 그리고 해를 수치적으로 계산할 때 두 모형 간의 그 계산량의 차이가 어느 정도이며 Hybrid fractional 모형에서 유의미하게 줄어드는지를 정량적으로 규명하고자 한다.- 3년차(2024): 기억에 의존하는 비선형 편미분방정식 모형 연구 마지막으로 상미분방정식 계에서 다루었던 것을 자연스럽게 편미분방정식에도 적용하고자 한다. 앞서 언급한 쿠커-스메일, 쿠라모토 모형 등의 복잡계 모형에서 개체의 수가 매우 큰 경우 입자 하나하나의 움직임을 파악하려면 과도한 계산량이 요구된다. 이때는 평균장 극한(mean-field limit)을 활용하여 유도한 단일 편미분방정식을 통해 다이나믹스를 해석할 수 있다. 이러한 평균장 극한 이론을 통해 얻은 방정식에 Caputo 미분방정식을 도입하여 기억에 의존하는 비선형 편미분방정식 모형을 유도하고, 이 방정식의 강해(Strong solution)의 존재성 및 시간에 따른 움직임을 연구하고자 한다.