이 연구 주제는 편미분방정식을 중심으로 유체의 흐름, 입자계의 집단 운동, 그리고 연속체의 시간적·공간적 변화를 수학적으로 엄밀하게 분석하는 데 초점을 둔다. 연구실은 오일러형 방정식, 정렬(alignment) 동역학, 운동론적 방정식 등 다양한 형태의 진화방정식을 대상으로 해의 존재성, 유일성, 정칙성, 장시간 거동과 같은 핵심 문제를 다룬다. 이러한 연구는 복잡한 자연현상을 설명하는 수학적 기반을 제공하며, 물리적 직관을 엄밀한 정리와 추정으로 연결하는 역할을 한다. 특히 유체방정식과 운동방정식은 비선형성이 강하고, 초기값에 민감하며, 경우에 따라 특이성이 발생할 수 있기 때문에 정교한 해석 기법이 요구된다. 연구실은 Cauchy 문제의 전역 해 존재성, 국소적 well-posedness, 특이 커뮤니케이션 가중치를 갖는 계의 안정성 및 정렬 메커니즘 등을 분석한다. 이를 위해 에너지 추정, 함수해석, 조화해석, 약해 개념, 운동론적 한계와 평균장 극한 같은 현대 해석학의 도구들을 활용하여 방정식의 구조를 체계적으로 규명한다. 이러한 연구는 순수수학적 가치뿐 아니라 군집 이동, 유체 상호작용, 생물학적 집단행동, 사회적 합의 형성 등 다양한 응용 분야와도 긴밀히 연결된다. 특히 복수 개체가 상호작용하는 계에서 어떻게 질서가 형성되거나 분리 현상이 나타나는지 이해하는 데 중요한 이론적 틀을 제공한다. 장기적으로는 복잡계의 거시적 거동을 설명하는 수학 모델의 신뢰성을 높이고, 실제 현상을 예측할 수 있는 정량적 분석으로 확장하는 기반 연구가 된다.

이 연구 주제는 과거의 상태가 현재의 동역학에 지속적으로 영향을 미치는 기억 의존 시스템을 수학적으로 모델링하는 데 중점을 둔다. 일반적인 상미분방정식이나 편미분방정식이 현재 상태 중심의 변화를 기술한다면, 분수차수 미분을 도입한 모델은 시간 축을 따라 누적된 이력 효과를 반영할 수 있다. 연구실은 이러한 틀을 이용해 동물의 이동, 집단의 경로 선택, 복잡한 상호작용을 지닌 시스템의 비국소적 시간 효과를 정교하게 설명하고자 한다. 분수차수미적분학은 단순한 미분 차수의 일반화에 그치지 않고, 확산 속도의 이상 거동, 지연된 반응, 장기 기억 효과를 표현하는 데 매우 유용하다. 연구실은 기억에 의존하는 복잡계에서 해의 정성적 성질과 정량적 거동을 분석하고, 시간에 따라 시스템이 어떤 패턴을 형성하는지 탐구한다. 이를 통해 기존의 정수차 미분 모형으로는 포착하기 어려운 느린 완화, 장기 상관, 비정상적 확산과 같은 현상을 수학적으로 설명한다. 이 연구는 생물 집단행동, 인간의 이동 패턴, 사회적 상호작용, 물리적 비평형계 등 다양한 영역에 응용 가능성이 크다. 특히 기억 기반 의사결정이 중요한 실제 시스템에서 분수차수 모델은 더 현실적인 예측을 가능하게 하며, 데이터 기반 모델링과도 접목될 수 있다. 앞으로는 이론적 해석 결과를 바탕으로 보다 복잡한 다중 스케일 시스템과 비선형 상호작용 모델에 적용하여, 기억 효과가 집단 동역학 전반에 미치는 영향을 깊이 있게 밝히는 방향으로 발전할 수 있다.

이 연구 주제는 다수의 입자나 개체가 상호작용하며 집단적 거동을 만들어내는 현상을 수학적으로 이해하는 데 초점을 둔다. 연구실은 Cucker-Smale 계열의 정렬 모델, swarmalator 모델, Vlasov형 기술 등 집단역학의 대표적 수학 모형을 다루며, 개별 입자의 미시적 상호작용이 어떻게 거시적 질서와 패턴으로 이어지는지 분석한다. 이는 새 떼의 비행, 물고기 떼의 이동, 자율 에이전트의 협업과 같은 현상을 설명하는 핵심 수학 틀이다. 특히 특이 커뮤니케이션 가중치가 있는 경우에는 가까운 거리에서 상호작용이 매우 강해지므로, 충돌 회피, 정렬 형성, 분리 동역학 등의 문제를 정밀하게 다루어야 한다. 연구실은 이러한 상황에서 해의 국소 및 전역 거동, 합의(consensus) 형성, separation dynamics, mean-field limit를 연구한다. 입자계 수준의 모델과 운동론적 방정식 수준의 모델 사이의 연결을 규명함으로써, 대규모 시스템을 효율적으로 기술할 수 있는 수학적 기반을 마련한다. 이러한 연구는 수학 내부에서는 비선형 PDE, 운동론, 확률적 상호작용계와 연결되며, 외부적으로는 군집로봇, 교통흐름, 생물군집, 사회적 네트워크 분석에도 중요한 통찰을 제공한다. 특히 집단 행동의 질서 형성과 붕괴 조건을 엄밀하게 밝히는 일은 복잡계 제어와 예측에 직접적인 의미를 가진다. 앞으로는 비대칭 상호작용, 잡음, 지연, 기억 효과가 포함된 더 현실적인 집단역학 모델로 확장되어, 이론과 응용을 잇는 폭넓은 수학 연구로 발전할 가능성이 크다.