프로젝트 소개
본 과제는 눈결정이나 수정의 성장, 물체의 경계 변화, 기계 학습의 분류 경계처럼 시간이 지나면서 모양과 위치가 달라지는 현상을 편미분방정식으로 분석하는 연구임. 특히 평균 곡률 흐름과 기울기 흐름 구조를 이용하여 경계가 어떻게 움직이고 안정되는지 규명하는 과제임.
연구 목표는 수정 평균 곡률 흐름의 수렴성, 평균 곡률 흐름과 해밀턴-자코비 방정식의 균질화 및 정칙성, 온라인 학습 분류 문제의 수렴성 규명임. 핵심 연구 내용은 점성해와 기울기 흐름 구조를 활용하여 수정 평균 곡률 흐름이 울프 모양(Wulff shape)으로 수렴하는 조건을 밝히고, 노이만 경계 조건에서 평균 곡률 흐름의 존재성과 수렴성을 증명하는 것임. 또한 변화하는 데이터에 대응하는 온라인 학습의 기울기 흐름 구조와 수렴 속도 분석을 수행함. 기대 효과는 복잡한 경계 움직임을 설명하는 포물형 편미분방정식 이론의 확장과 실제 평균 움직임 분석임. 나아가 최적 운송, 확산 모델(Diffusion models) 등 인공지능 및 기계 학습 알고리즘의 수렴성 분석과 개선된 최적화 방법 개발에 기여함.