임피던스 제어는 로봇 매니퓰레이터가 특정하게 설계된 동역학에 따라 환경과 상호작용할 때 순응(compliant) 거동을 보장하는 널리 채택된 접근법이다. 6자유도(DoF) 작업에서는 동역학적 거동을 제어함으로써 말단 가공기(end-effector)의 위치 및 방향을 적절히 관리하는 것이 중요하다. 그러나 자세(orientational) 변위의 기술과 이에 상응하는 회전 임피던스의 설계는, 특히 최소 표현을 사용하는 경우에 어렵다. 방향을 위한 잘 알려진 최소 표현인 오일러 각(Euler angle)은 표현 특이성(representation singularity)을 겪는다. 이를 해결하기 위한 방안으로 쿼터니언(quaternion) 또는 듀얼 쿼터니언(dual quaternion)이 대안이 될 수 있지만, 이들은 비최소 표현(non-minimal representations)에 해당한다. 표현 특이성을 겪지 않으면서 최소 표현이 부족한 이러한 제약은, 종종 임피던스 설계를 매트릭스 리 군(matrix Lie group)에서 퍼텐셜 에너지 함수(potential energy function)를 직접 정의함으로써 처리하게 만든다. 본 논문은 지수 좌표(exponential coordinate)로 알려진 최소 표현을 활용하는 리 군 이론(Lie group theory)을 바탕으로 6-DoF 임피던스 제어 설계를 위한 프레임워크를 제안한다. 지수 좌표는 주사성(injectivity) 반경 내에서 유클리드 변수(Euclidean variable)처럼 취급될 수 있으므로, 임피던스 제어를 보다 체계적이고 친숙한 방식으로 정식화할 수 있다. 우리의 프레임워크에서는 우회(detour) 전략을 사용한다. 즉, 임피던스는 리 군 에서 설계하고, 제어는 리 대수(Lie algebra) 1 rak {se}(3)에서 설계하며, 이는 벡터 공간 1b {R}^{6}에 동형(isomorphic)이다. 의 군 구조는, 지수 사상(exponential map)의 미분(differential of the exponential map) 및 그 시간 도함수(time derivative)로 불리며 폐형(closed-form) 표현을 갖는 리 군과 리 대수 사이의 제안된 변환 공식을 사용하여 유지할 수 있다. 6-DoF 로봇 매니퓰레이터에 대한 실험에서, 제안된 임피던스 제어 프레임워크가 의 군 구조를 효과적으로 반영하며, 최소 매개변수(minimal parameters)를 활용한 임피던스 제어의 기능으로서 원하는 동역학적 거동을 달성함을 검증하였다.
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