양자 오류정정코드는 양자 컴퓨팅 및 양자 정보 이론에서 필수적인 역할을 합니다. 김은상 연구실에서는 다양한 차원의 큐디트(qudit)를 기반으로 한 [[n, k]]d 안정자 코드의 수를 계산하는 연구를 수행하였습니다. 기존에는 소수 차원 또는 소수의 거듭제곱 차원에서만 안정자 코드의 수가 알려져 있었으나, 본 연구실에서는 임의의 양의 정수 차원에 대해서도 안정자 코드의 수를 산출하는 방법론을 제시하였습니다. 이 연구는 그룹 구조와 중국인의 나머지 정리(Chinese remainder theorem)를 결합하여, 기존의 증명이 적용되지 않는 비소수 차원에서도 안정자 코드의 수를 정확하게 계산할 수 있도록 하였습니다. 이를 통해 양자 컴퓨팅에서 비소수 차원의 시스템을 다루는 데 있어 이론적 기반을 제공하며, 다양한 양자 정보 처리 응용에 활용될 수 있습니다. 이러한 연구는 양자 컴퓨팅의 자원 이론, 디자인 이론, de Finetti 정리, Clifford 회로의 고전적 시뮬레이션 가능성, 양자 컨텍스추얼리티, Wigner 함수 연구 등 다양한 분야에 중요한 기여를 하고 있습니다. 특히, 비소수 차원 시스템에서도 기존 소수 차원과 동등한 수준의 이론적 분석이 가능해졌다는 점에서 큰 의의가 있습니다.

연산자 이론은 함수해석학 및 동역학 시스템에서 중요한 연구 분야로, 김은상 연구실에서는 하이퍼사이클리시티(hypercyclicity)와 관련된 다양한 문제를 다루고 있습니다. 특히, q-빈번 하이퍼사이클리시티(q-frequent hypercyclicity)와 (m_k)-하이퍼사이클리시티에 대한 조건, 그리고 연산자의 텐서곱 및 직접합에서의 하이퍼사이클리시티 성질을 연구하였습니다. 이 연구는 바나흐 공간 위의 연산자 대수에서 선형 변환의 동역학적 특성을 분석하며, 하이퍼사이클릭 연산자가 갖는 다양한 성질과 그 응용 가능성을 탐구합니다. 예를 들어, 연산자의 직접합이 하이퍼사이클릭일 때, 더 높은 차원의 직접합에서도 하이퍼사이클리시티가 유지되는지에 대한 Furstenberg 정리의 확장, 그리고 연산자의 약한 혼합성(weak mixing)과 관련된 새로운 결과를 도출하였습니다. 이러한 연구는 연산자 동역학, 무한 차원 시스템의 거동, 그리고 수학적 물리학 등 여러 분야에서 이론적 토대를 제공하며, 복잡한 시스템의 장기적 행동 예측 및 제어에 중요한 시사점을 제공합니다.

양자 정보 이론에서 상태 판별 문제는 매우 중요한 주제 중 하나입니다. 김은상 연구실에서는 선형 독립 상태 집합에 대한 최소 오류 판별(minimum error discrimination, MED) 문제를 집중적으로 연구하였습니다. 특히, Pretty Good Measurement(PGM)와 최적 측정 사이의 관계를 분석하고, PGM이 최적 측정이 되는 조건을 명확히 하였습니다. 이 연구는 선형 독립 상태 집합의 측정 최적화 조건을 단순화하고, 측정의 고정점이 되는 상태 집합을 규명함으로써 양자 통신 및 양자 암호 분야에서의 응용 가능성을 높였습니다. 또한, 기하적으로 균일한 상태 집합에 대한 최소 오류 판별 문제도 다루어, 다양한 양자 상태 집합에서의 판별 효율성을 높이는 데 기여하였습니다. 이러한 연구는 양자 정보 처리의 신뢰성 향상, 양자 통신의 보안성 강화, 그리고 양자 컴퓨팅에서의 효율적인 정보 추출 방법론 개발에 중요한 역할을 하고 있습니다.