Borisov와 Joyce는 파생 미분 기하학을 사용하여, Calabi–Yau 4-fold 위의 안정 층의 콤팩트(moduli space)에서 실(real) 가상 사이클을 구성하였다. 우리는 대수적 가상 사이클을 구성한다. 핵심 단계는 Edidin과 Graham의 SO(2n,C)-다발에 대한 제곱근 오일러 계수(square root Euler class)를 동질적(isotropic) 절의 영점 자취로, 또는 동질적 원뿔(isotropic cone)의 지지(support)로 국소화(localization)하는 것이다. 우리는 토러스 국소화 정리를 증명하여, 불변량들을 계산 가능하게 만들고, 고정 자취(fixed locus)가 콤팩트인 경우 비콤팩트(noncompact) 경우로까지 확장한다. 또한 K-이론적 정련을 제공하기 위해 K-이론적 제곱근 오일러 계수와 그들의 국소화된 버전을 정의한다. 후속 논문에서, 우리의 불변량이 Borisov와 Joyce의 불변량을 재현한다는 것을 증명한다.

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