n이 0 이상의 정수라고 하자. n의 각 분할(composition) α에 대하여 Berg, Bergeron, Saliola, Serrano 및 Zabrocki는 극순환적(cyclic) 분해불가능(cyclic indecomposable) H_n(0) -모듈 \mathcal {V}_{\alpha }와, 사중(immaculate) 성질의 대응되는(quasisymmetric) 함수(dual immaculate quasisymmetric function)를 쿼시대칭(characteristic) 함수의 상으로 갖는 모듈을 도입하였다. 본 논문에서는 호몰로지적 관점에서 \mathcal {V}_{\alpha }들을 연구한다. 보다 구체적으로, \mathcal {V}_{\alpha }에 대한 최소 사영(projecive) 제시(minimal projective presentation)와 최소 사영(injective) 제시(minimal injective presentation)도 구성한다. 이를 이용하여, 쿼시대칭(characteristic) 함수 \mathbf {F}_{\beta }에 대하여 \mathrm {Ext}^1_{H_n(0)}(\mathcal {V}_{\alpha }, \mathbf {F}_{\beta }) 및 \mathrm {Ext}^1_{H_n(0)}(\mathbf {F}_{\beta }, \mathcal {V}_{\alpha })를 계산한다. 여기서 \mathbf {F}_{\beta }는 n의 분할 β에 부착된 단순(simple) H_n(0) -모듈이다. 또한 i=0,1이고 \beta \le _l \alpha일 때, \mathrm {Ext}_{H_n(0)}^i(\mathcal {V}_{\alpha },\mathcal {V}_{\beta })도 계산한다. 여기서 \le _l은 분할(composition)들에 대한 사전식(lexicographic) 순서를 나타낸다.
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