Stanley의 P-분할(conjecture)가 성립한다고 가정하면, 정규 Schur 표지(skew) 모양(poset) 라벨링 부분순서(poset)들은 근본 원소 집합이 $1,2,\dots ,|P|$인 유한 부분순서 P 중에서, P-분할 생성함수가 대칭적이며 P의 선형확장 집합(이를 ${\Sigma }_L(P)$로 표기)이 대칭군 ${\mathfrak{S}}_{|P|}$에서의 left weak Bruhat 구간(left weak Bruhat interval)인 경우와 정확히 일치한다. 우리는 P가 정규 Schur 표지 모양 라벨링 부분순서일 때 ${\Sigma }_L(P)$에 속하는 순열들을 표준 Young 표의 읽기 단어(reading words)로써 기술하고, P가 정규 Schur 표지 모양 라벨링 부분순서들에 대해 변할 때 ${\Sigma }_L(P)$를 하강(descent)을 보존하는 동형사상(descend-preserving isomorphism)까지 분류한다. 그다음 이러한 결과를 정규 Schur 표지 모양 라벨링 부분순서 P에 연관된 $0$-Hecke 모듈 ${\mathsf{M}}_P$를 동형사상까지 분류하는 데 적용한다. 이어서 우리는 정규 Schur 표지 모양 라벨링 부분순서를, 선형확장들이 ${\mathfrak{S}}_{|P|}$에서의 dual plactic-closed 부분집합을 이루는 유한 부분순서 P로서 특징짓는다. 이와 같은 특징화를 이용하여, P가 정규 Schur 표지 모양 라벨링 부분순서일 때 Schur 기저에 대해 ${\mathsf{M}}_P$의 구별되는 여과(distinguised filtration)들을 구성한다. 더불어 $0$-Hecke 모듈 ${\mathsf{M}}_P$의 분류 및 분해에 관한 추가 문제들도 함께 논의한다.

n이 0 이상의 정수라고 하자. n의 각 분할(composition) α에 대하여 Berg, Bergeron, Saliola, Serrano 및 Zabrocki는 극순환적(cyclic) 분해불가능(cyclic indecomposable) H_n(0) -모듈 \mathcal {V}_{\alpha }와, 사중(immaculate) 성질의 대응되는(quasisymmetric) 함수(dual immaculate quasisymmetric function)를 쿼시대칭(characteristic) 함수의 상으로 갖는 모듈을 도입하였다. 본 논문에서는 호몰로지적 관점에서 \mathcal {V}_{\alpha }들을 연구한다. 보다 구체적으로, \mathcal {V}_{\alpha }에 대한 최소 사영(projecive) 제시(minimal projective presentation)와 최소 사영(injective) 제시(minimal injective presentation)도 구성한다. 이를 이용하여, 쿼시대칭(characteristic) 함수 \mathbf {F}_{\beta }에 대하여 \mathrm {Ext}^1_{H_n(0)}(\mathcal {V}_{\alpha }, \mathbf {F}_{\beta }) 및 \mathrm {Ext}^1_{H_n(0)}(\mathbf {F}_{\beta }, \mathcal {V}_{\alpha })를 계산한다. 여기서 \mathbf {F}_{\beta }는 n의 분할 β에 부착된 단순(simple) H_n(0) -모듈이다. 또한 i=0,1이고 \beta \le _l \alpha일 때, \mathrm {Ext}_{H_n(0)}^i(\mathcal {V}_{\alpha },\mathcal {V}_{\beta })도 계산한다. 여기서 \le _l은 분할(composition)들에 대한 사전식(lexicographic) 순서를 나타낸다.

Stanley의 P-분할(conjecture)가 성립한다고 가정하면, 정규 Schur 표지(skew) 모양(poset) 라벨링 부분순서(poset)들은 근본 원소 집합이 $1,2,\dots ,|P|$인 유한 부분순서 P 중에서, P-분할 생성함수가 대칭적이며 P의 선형확장 집합(이를 ${\Sigma }_L(P)$로 표기)이 대칭군 ${\mathfrak{S}}_{|P|}$에서의 left weak Bruhat 구간(left weak Bruhat interval)인 경우와 정확히 일치한다. 우리는 P가 정규 Schur 표지 모양 라벨링 부분순서일 때 ${\Sigma }_L(P)$에 속하는 순열들을 표준 Young 표의 읽기 단어(reading words)로써 기술하고, P가 정규 Schur 표지 모양 라벨링 부분순서들에 대해 변할 때 ${\Sigma }_L(P)$를 하강(descent)을 보존하는 동형사상(descend-preserving isomorphism)까지 분류한다. 그다음 이러한 결과를 정규 Schur 표지 모양 라벨링 부분순서 P에 연관된 $0$-Hecke 모듈 ${\mathsf{M}}_P$를 동형사상까지 분류하는 데 적용한다. 이어서 우리는 정규 Schur 표지 모양 라벨링 부분순서를, 선형확장들이 ${\mathfrak{S}}_{|P|}$에서의 dual plactic-closed 부분집합을 이루는 유한 부분순서 P로서 특징짓는다. 이와 같은 특징화를 이용하여, P가 정규 Schur 표지 모양 라벨링 부분순서일 때 Schur 기저에 대해 ${\mathsf{M}}_P$의 구별되는 여과(distinguised filtration)들을 구성한다. 더불어 $0$-Hecke 모듈 ${\mathsf{M}}_P$의 분류 및 분해에 관한 추가 문제들도 함께 논의한다.

n이 0 이상의 정수라고 하자. n의 각 분할(composition) α에 대하여 Berg, Bergeron, Saliola, Serrano 및 Zabrocki는 극순환적(cyclic) 분해불가능(cyclic indecomposable) H_n(0) -모듈 \mathcal {V}_{\alpha }와, 사중(immaculate) 성질의 대응되는(quasisymmetric) 함수(dual immaculate quasisymmetric function)를 쿼시대칭(characteristic) 함수의 상으로 갖는 모듈을 도입하였다. 본 논문에서는 호몰로지적 관점에서 \mathcal {V}_{\alpha }들을 연구한다. 보다 구체적으로, \mathcal {V}_{\alpha }에 대한 최소 사영(projecive) 제시(minimal projective presentation)와 최소 사영(injective) 제시(minimal injective presentation)도 구성한다. 이를 이용하여, 쿼시대칭(characteristic) 함수 \mathbf {F}_{\beta }에 대하여 \mathrm {Ext}^1_{H_n(0)}(\mathcal {V}_{\alpha }, \mathbf {F}_{\beta }) 및 \mathrm {Ext}^1_{H_n(0)}(\mathbf {F}_{\beta }, \mathcal {V}_{\alpha })를 계산한다. 여기서 \mathbf {F}_{\beta }는 n의 분할 β에 부착된 단순(simple) H_n(0) -모듈이다. 또한 i=0,1이고 \beta \le _l \alpha일 때, \mathrm {Ext}_{H_n(0)}^i(\mathcal {V}_{\alpha },\mathcal {V}_{\beta })도 계산한다. 여기서 \le _l은 분할(composition)들에 대한 사전식(lexicographic) 순서를 나타낸다.

$\alpha$ 가 $n$ 과 $\sigma$ 의 순열로 이루어진다고 하자. $S_{\ell \left(\alpha \right)}$ . 이 논문은 $H_n\left(0\right)$ -모듈의 사영 피집합(projective covers)을 다룬다. $V_{\alpha }$ , $X_{\alpha }$ 및 $S_{\alpha }^{\sigma }$ 이며, $\sigma$ 가 항등(identity)일 때 이들의 준대칭 특성(quasisymmetric characteristic) 하에서의 상(image)은 각각 dual immaculate quasisymmetric function, extended Schur function, quasisymmetric Schur function이 된다. 먼저, $V_{\alpha }$ 의 사영 피집합(projective cover)은 Norton에 의해 주어지는 사영 비분해 모듈(projective indecomposable module) $P_{\alpha }$ 이며, 또한 $X_{\alpha }$ 및

조성(composition)들의 집합에 대해 α가 범위에 놓이도록 하자. Berg, Bergeron, Saliola, Serrano, Zabrocki가 도입한 이중(dual) 무흠(immaculate) 부가대칭(quasisymmetric) 함수 𝔖\!_{α}^*는 슈어(Schur) 함수의 부가대칭 아날로그를 제공한다. 이들은 또한 부가대칭 특성(quasisymmetric characteristic) 하에서 𝔖\!_{α}^*의 상(image)을 갖는, 분해불가능한(decomposable이 아님) 0-Hecke 모듈 𝒱\!_{α}를 구성하였다. 본 논문에서는 𝒱\!_{α}가 영 부가대칭 슈어(Young quasisymmetric Schur) 함수들의 기저에 대해 분명한(distinguished) 여과필tration를 갖는다는 것을 증명한다. 이 결과는 영 부가대칭 슈어 함수들의 기저에서의 𝔖\!_{α}^*의 양의 전개(positive expansion)에 대한 새로운 표현론적 해석을 제공한다. 우리의 증명의 핵심 도구는 Robinson-Schensted-Knuth 알고리즘의 Mason의 아날로그이며, 이를 위해 우리는 Green의 정리의 한 버전을 정립한다. 본 연구의 예상치 못한 부산물로서, 우리는 부가대칭 특성 하에서 영 부가대칭 슈어 함수 \hat{\mathscr{S}}\!_{α}의 상을 갖는 분해불가능한 0-Hecke 모듈 𝒴\!_{α}를 구성한다. 또한 이 모듈의 추가적인 성질들도 조사한다. 그리고 이 모듈에 적절한 자기동형(automorphism) 꼬임(twist)을 적용함으로써, 부가대칭 특성 하에서 부가대칭 슈어 함수 𝒮\!_{α}의 상을 갖는 분해불가능한 0-Hecke 모듈을 얻는다.

본 논문에서는 준대칭(symmetric) 슈어 Q-함수(quasisymmetric Schur $Q$-functions)와 피크 영 준대칭 슈어 함수(peak Young quasisymmetric Schur functions) 사이의 관계를 탐구한다. 우리는 $\mathsf{SPIT}(\alpha )$ 위에서 쌍사상(bijection)을 도입하여, $\{{\mathrm{w}}_{\mathrm{c}}(T)\mid T\in \mathsf{SPIT}(\alpha )\}$ 와 $\{{\mathrm{w}}_{\mathrm{r}}(T)\mid T\in \mathsf{SPIT}(\alpha )\}$ 가 동일한 하강(descent) 분포를 공유함을 보인다. 여기서 $\mathsf{SPIT}(\alpha )$ 는 모양이 $\alpha$ 인 표준 피크 이매큐레이트 표준표(tableau)의 집합이며, ${\mathrm{w}}_{\mathrm{c}}$ 와 ${\mathrm{w}}_{\mathrm{r}}$ 는 각각 열 읽기(column reading)와 행 읽기(row reading)를 의미한다. 이러한 등분포(equidistribution)를 Allen, Hallam, Mason 이 개발한 알고리즘과 결합함으로써, 준대칭 슈어 Q-함수의 기저에서 피크 영 준대칭 슈어 함수의 기저로의 전이 행렬(transition matrix)이 상삼각형(upper triangular)이며 그 성분이 음이 아닌 정수임을 증명한다. 또한 특정한 경우에 대해, 피크 영 준대칭 슈어 함수의 전개(expansion)를 준대칭 슈어 Q-함수에 대한 형태로 명시적으로 기술한다. 더 나아가 표준 피크 이매큐레이트 표준표, 표준 영 구성표준표(standard Young composition tableaux), 표준 피크 영 구성표준표(standard peak Young composition tableaux)의 조합론적(combinatorial) 성질을 조사한다. $\mathsf{SPIT}(\alpha )$ 에 대한 후크 길이(hook length) 공식을 제공하고, 표준 영 구성표준표와 표준 피크 영 구성표준표가 친숙한 형태의 특정한 단어(word)들에 대해 쌍사상으로 대응될 수 있음을 보인다. 특히 직사각형 직형(rectangular shape)인 구성(compositions)의 경우를 상세히 검토한다.

본 논문에서는 체 $F$가 \mathbb{C}(q,t) 또는 \mathbb{C}(q) 중 하나인, 불변대수(호프 대수) $extsf{QSym}_F$의 세 가지 기저에 대한 곱(product)과 코곱(coproduct) 규칙을 정립한다. 이러한 결과는 정규 격자 초문자(supercharacter) 이론을 활용하여 얻은 $extsf{QSym}_{\mathbb{C}}$의 범주화(categorization)로부터 도출된다. 첫째, $extsfComp$가 모든 조성(compositions)의 집합을 나타낼 때, \textsf{QSym}_{\mathbb{C}(q,t)}의 기저 \{\mathcal{D}_\alpha(q,t) \mid \alpha\in \textsf{Comp}\}를 다룬다. 이 기저는 특정 초문자 함수 공간들의 직접합에서 얻어지며, 초군(superclass) 식별자 함수(superclass identifier functions)로 구성된다. $q$와 $t$에 대한 적절한 특수화를 통해 Grinberg와 Vassilieva가 도입한 강화된 $q$-모노말(quasi-monomial) 준대칭(quasisymmetric) 함수들을 포함하여, $extsf{QSym}_{\mathbb{C}}$와 $extsf{QSym}_{\mathbb{C}(q)}$의 주목할 만한 기저들을 산출한다. 둘째, Hivert가 도입한 준대칭 Hall-Littlewood 함수 $G_{\alpha }(q)$를 $\alpha \in \text{Comp}$에 대해 $extsf{QSym}_{\mathbb{C}(q)}$의 기저 \{G_\alpha(q) \mid \alpha\in \textsf{Comp}\}로 둔다. 이때 곱 규칙은 새로우며, 코곱 규칙은 Hivert의 기존 코곱 규칙과 동치임이 밝혀진다. 마지막으로, $M_{\alpha }(q)$를 모노말 준대칭 함수의 $q$-해석(analogue)으로 하는 $extsf{QSym}_{\mathbb{C}(q)}$의 기저 \{M_\alpha(q) \mid \alpha\in \textsf{Comp}\}를 고려한다.