향후 1년동안 진행할 본 연구과제의 최종 목표는, 다중선형 거친 특이적분 작용소 및 이에 대응하는 극대 작용소에 대하여, 다중가중 공간 위에서의 유계성을 규명하고, 이와 관련된 이론적 기반을 구축하는 것이다.

일차적으로 여러 선형 작용소들이 만족하였던 르베그공간이나 하디공간 위에서의 유계성을 다중선형 작용소로 확장 하였을 때 어떻게 되는지 살펴보려고 한다. 이 과정의 방법들을 토대로 Christ-Journe 형태의 부등식을 개선할 수 있는지 살펴볼 것이다. 마지막으로 위 연구들을 통하여 얻은 방법들이 다른분야(특히 비선형 편미분방정식 분야)에 어떻게 활용될 수 ...

선형 곱연산자의 Lp유계성에 대한 대표적인 결과로 Hörmander 곱연산자 이론을 들수 있다. 이는 정칙성이 s>n/2인 어떤 쏘볼레프 노름조건을 만족할 경우 이에 대응하는 곱연산자 작용소가 Lp유계성을 만족한다는 내용이다. 여기서 n은 함수공간의 차원이다. 하지만 프란셰럴 정리로 얻을 수 있는 p=2인 경우의 결과를 살펴보면 위 정칙성 조건이 전혀 필요없다. 이런 관찰을 토대로 Calderón과 Torchinsky는 보간법을 이용하여 Hörmander의 결과를 개선하였다. 다중선형 곱연산자에 대한 연구와 관련해서는 Tomita가 s>mn/2인 정칙성 조건을 사용하여 Hörmander의 결과를 m-선형 작용소로 아주 자연스럽게 확장하였다. 이후 많은 사람들에 의해 좀 더 넓은 범위의 다중선형 유계성으로 일반화 되었다. 하지만 여전히 s>mn/2인 정칙성 조건이 사용되었고, 다중선형 작용소의 경우 프란셰럴 정리가 성립하지 않기 때문에 선형 작용소의 경우와는 다르게 이 정칙성 조건을 완화할 수가 없었다. 최근 본 연구자는 특별한 경우 이 정칙성 조건을 s>(m-1)n/2로 완화 시킬 수 있다는 것을 증명하였다. 참고로 이 조건의 최적성도 최근에 증명되었다. 이 프로젝트의 연장으로 본 연구자는 앞의 결과를 최적의 정칙성조건으로 일반적인 모든 경우로 확장하는 연구를 진행할 계획이다. 본 연구자가 관심을 가지고 있는 또 다른 주제는 거친 특이적분 작용소이다. 거친 특이적분 작용소는 단위원에서 정의된 함수 Ω가 소거조건을 만족하고 거칠경우 함수 K(x)=Ω(x/|x|)/|x|^n를 핵으로 가지는 특이적분으로 정의가 된다. 이는 1차원의 힐버트변환이나 고차원의 리쯔변환에서 일반화된 작용소로 Calderón과 Zygmund의 연구 이후 조화해석학 분야에서 아주 중요하게 다루어져 왔다. 그들이 처음 Ω가 LlogL 함수일 경우 이에 대응하는 특이적분 작용소의 Lp유계성을 증명하였고, 이 후 Coifman과 Weiss가 Ω가 하디공간 H1에 들어가는 조건으로 완화시켰다. 이 결과의 끝점 추정치로 Christ와 Rubio de Francia가 2차원일 경우 weak-type (1,1)유계성을 증명하였고, 그 이후 Seeger가 새로운 방법으로 모든 차원의 경우를 해결 하였다. 다중선형 작용소로의 확장과 관련해서는 Coifman과 Meyer가 Ω가 단위원 S1 위에서 유계변동을 가질 때 이에 대응하는 특이적분 작용소의 이중선형 유계성을 증명하였고, 이 결과는 Grafakos와 Torres에 의해 고차원으로 확장되었다. Ω가 거칠 경우는 Grafakos, He, Honzík에 의해 처음 연구가 되었는데, 그들은 Ω가 단순히 유계함수일 경우 이중선형 유계성이 성립한다는 것을 증명하였다. 그리고 Grafakos, He, Slavíková의 논문에서 훨씬 완화된 조건인 Ω가 q>4/3인 Lq함수이면 초기추정치인 (L2,L2)-L1 유계성이 성립한다는 결과를 얻었다. 최근 본 연구자는 이 이중선형 초기추정치 결과를 Ω가 q>2m/(m+1)인 Lq에 들어간다는 조건하에 일반적인 m-작용소로 확장시켰다. 아직 증명되진 않았지만 위 q에 대한 조건은 다중선형 초기추정치 유계성을 위한 필요조건이라 생각된다. 현재 다중선형 거친 특이적분 작용소와 관련해서는 일반적인 다중선형 유계성을 위한 Ω가 Lq에 들어가는 조건에서의 q값의 최적화 문제가 남아 있다. 현재 Grafakos와 함께 이 프로젝트를 진행 중인데, 상당히 까다롭다고 판단하여 장기적으로 진행 될 것으로 예상한다.

본 과제는 수리과학 미래인재양성 교육연구단으로, 수학을 세계 수준의 연구로 이끌 창의적 인재와 선도 연구집단을 육성하는 교육·연구·국제화 연구임. 연구목표는 미래를 선도할 인재 양성, 도전적 연구를 통한 세계적 수준 도약, 글로벌 역량 기반의 최상위 교육연구단 성장임. 교수 1인당 상위 20% 저널 논문 3년 평균 3.1~3.4 목표 설정, 질적 평가·보상 및 도전적 연구주제 지원, 필즈상급 석학 활용, 해외석학 공동연구·장단기 파견·국제학회 주도 및 산업 연계로 연구 역량과 국제화를 강화함. 기대효과는 한국 수학의 세계 선도 역할, 후속세대의 세계적 수학 리더 성장 토대, 제4차 산업혁명 핵심 역량인 수학적 사고 기반 인재 배출 및 국가 경쟁력 제고임.