동력계 및 상미분방정식은 복잡한 시스템의 시간에 따른 변화를 수학적으로 모델링하고 분석하는 데 필수적인 도구입니다. 김도헌 연구실은 다양한 자연현상과 공학적 시스템에서 나타나는 동적 거동을 이해하기 위해 상미분방정식과 동력계 이론을 심도 있게 연구하고 있습니다. 특히, 다입자 시스템, 집단 행동, 최적화 알고리즘 등 다양한 분야에 적용되는 동적 모델의 수학적 구조와 해의 존재성, 안정성, 수렴성 등을 체계적으로 분석합니다. 이 연구실은 BGK(Bhatnagar-Gross-Krook) 모델, ES-BGK 모델 등 기체역학에서 중요한 역할을 하는 수치적·이론적 모델의 해석적 특성을 연구합니다. 예를 들어, 다성분 기체 혼합물의 수송계수(피크 계수 등)와 관련된 문제, 엔트로피 생성 추정, 반응성 기체의 정지상태 해 등 다양한 주제를 다루고 있습니다. 이러한 연구는 실제 물리 현상에 대한 이해를 높이고, 수치해석 및 시뮬레이션의 정확성을 향상시키는 데 기여합니다. 또한, 연구실은 동력계의 수학적 이론을 바탕으로 새로운 알고리즘 개발 및 최적화 문제에 응용하는 연구도 활발히 수행하고 있습니다. 예를 들어, 분산 최적화, 합의 기반 알고리즘, 확산 모델 등에서 나타나는 동적 시스템의 수렴성과 안정성 분석을 통해, 실제 데이터 과학 및 공학적 문제 해결에 필요한 이론적 기반을 제공합니다.

김도헌 연구실은 다입자 시스템의 집단 행동, 즉 개별 요소들이 상호작용을 통해 전체적으로 질서 있는 패턴이나 행동을 보이는 현상을 수학적으로 해석하는 데 중점을 두고 있습니다. 대표적으로 쿠커-스메일(Cucker-Smale) 모델, 위프리(Winfree) 모델, 쿠라모토(Kuramoto) 모델 등 다양한 집단 행동 모델의 동역학적 특성과 평균장 극한, 확률적 효과, 시간 지연, 네트워크 구조의 영향을 분석합니다. 이러한 연구는 생물학적 집단, 사회적 네트워크, 로봇 군집 등 다양한 실제 시스템에 적용될 수 있습니다. 특히, 연구실은 합의 기반 최적화 알고리즘(Consensus-based Optimization, CBO)과 분산 최적화 알고리즘의 수렴성, 오차 추정, 확률적 합의 및 네트워크 상호작용의 효과를 정밀하게 분석합니다. 랜덤 배치 상호작용, 이질적 잡음, 네트워크 토폴로지 변화 등 현실적인 조건 하에서 알고리즘의 성능과 안정성을 수학적으로 증명하며, 실제 데이터 과학 및 인공지능 분야에서 활용 가능한 이론적 토대를 마련합니다. 이러한 연구는 집단 지능, 분산 시스템, 네트워크 제어 등 다양한 분야에 응용될 수 있으며, 복잡계의 집단적 현상에 대한 깊은 이해와 더불어, 효율적이고 견고한 최적화 알고리즘 개발에 기여합니다. 또한, 최근에는 점수 기반 확산 모델 등 최신 생성 모델의 수학적 이론 해석에도 연구의 폭을 넓히고 있습니다.