본 연구 과제에서 고려해야 할 주안점은 4차 수치적인 방법을 개발하는 것이다. 이를 위해서는 다음과 같은 구체적인 사항들을 반영해야 한다. 첫째로, 제시된 적분-미분 연산자에서 적분 항을 이산화하는 것이다. 여기에서는 4차 정확성을 가지는 이산화가 필요하기 때문에 composite Simpson’s rule을 적용하면 될 것이다. 또는 그 이상의 정확성을 갖는 비교적 간단한 형태의 quadrature rule이 있는지를 확인해 보는 것도 하나의 점검 사항이 될 것이다. 그 다음에는 계산의 효율적을 위해서 fast Fourier transform (FFT)와 discrete Fourier transform (DFT)를 적용할 수 있는지 확인해 볼 것이다. 기본적으로 2차 정확성을 가지는 알고리즘과 최대한 유사하게 계산 속도를 맞추기 위해서는 FFT와 DFT의 적용이 필요한데, 이를 위해서는 적분 항의 근사인 이산화 형태가 Toeplitz matrix 형태로의 변형이 요구될 것으로 판단된다. 둘째로, 우리는 시간과 로그 가격에 대해서 4차 정확성을 확보해야 한다. x에 대한 4차 근사 형태는 에 대한 형태로 전개할 수 있는 방법과 u와 u_x에 대한 형태로 전개할 수 있는 방법이 있다. 전자에서 언급한 u만을 이용한다면 이산화된 방정식의 행렬 형태는 3중 대각 행렬을 넘어서는 5중 이상의 대각 행렬로 표현될 것이다. 후자의 방법은 u와 u_x에 대해서 3중 대각 행렬을 요구하지만, u_x에 대한 4차 정확한 근사가 요구된다. 이러한 방법은 compact numerical method를 적용하면 비교적 쉽게 이산화될 수 있다. 각각의 장점과 단점이 있겠지만, 전자의 방법은 ‘5중 이상의 대각 행렬로 이산화 방정식을 만들었을 때, 안정성을 증명할 수 있느냐?’가 관건을 것이고, 후자의 방법은 미분 항이 혼합되어 있기 때문에 이 부분에 대한 해석이 요구될 것이다. 다양한 문헌들과 주어진 방정식에 부합하는 수학적인 해석을 통하여 적절한 알고리즘을 제안할 계획이다. 셋째로, 위의 첫째와 둘째의 문제점들을 해결하여 디자인된 방정식은 시간에 대한 1계 선형 미분 방정식의 행태로 귀결된다. 시간에 대한 미분 항을 4차 근사하기 위한 수치적인 알고리즘이 요구된다. Runge-Kutta method 같은 여러 가지 수치 방법들을 결합하여 시간과 로그 가격에 대한 격자들이 선형으로 비례하는 관계에서 4차 수치적인 알고리즘을 제안하고 안정성을 보이고자 한다. 아울러 증명의 현상이 실제적으로 구현이 되는지를 수치적인 실험을 통하여 뒷받침하고자 한다.

본 연구 과제에서 고려해야 할 주안점은 4차 수치적인 방법을 개발하는 것이다. 이를 위해서는 다음과 같은 구체적인 사항들을 반영해야 한다. 첫째로, 제시된 적분-미분 연산자에서 적분 항을 이산화하는 것이다. 여기에서는 4차 정확성을 가지는 이산화가 필요하기 때문에 composite Simpson’s rule을 적용하면 될 것이다. 또는 그 이상의 정확성을 갖는 비교적 간단한 형태의 quadrature rule이 있는지를 확인해 보는 것도 하나의 점검 사항이 될 것이다. 그 다음에는 계산의 효율적을 위해서 fast Fourier transform (FFT)와 discrete Fourier transform (DFT)를 적용할 수 있는지 확인해 볼 것이다. 기본적으로 2차 정확성을 가지는 알고리즘과 최대한 유사하게 계산 속도를 맞추기 위해서는 FFT와 DFT의 적용이 필요한데, 이를 위해서는 적분 항의 근사인 이산화 형태가 Toeplitz matrix 형태로의 변형이 요구될 것으로 판단된다. 둘째로, 우리는 시간과 로그 가격에 대해서 4차 정확성을 확보해야 한다. x에 대한 4차 근사 형태는 에 대한 형태로 전개할 수 있는 방법과 u와 u_x에 대한 형태로 전개할 수 있는 방법이 있다. 전자에서 언급한 u만을 이용한다면 이산화된 방정식의 행렬 형태는 3중 대각 행렬을 넘어서는 5중 이상의 대각 행렬로 표현될 것이다. 후자의 방법은 u와 u_x에 대해서 3중 대각 행렬을 요구하지만, u_x에 대한 4차 정확한 근사가 요구된다. 이러한 방법은 compact numerical method를 적용하면 비교적 쉽게 이산화될 수 있다. 각각의 장점과 단점이 있겠지만, 전자의 방법은 ‘5중 이상의 대각 행렬로 이산화 방정식을 만들었을 때, 안정성을 증명할 수 있느냐?’가 관건을 것이고, 후자의 방법은 미분 항이 혼합되어 있기 때문에 이 부분에 대한 해석이 요구될 것이다. 다양한 문헌들과 주어진 방정식에 부합하는 수학적인 해석을 통하여 적절한 알고리즘을 제안할 계획이다. 셋째로, 위의 첫째와 둘째의 문제점들을 해결하여 디자인된 방정식은 시간에 대한 1계 선형 미분 방정식의 행태로 귀결된다. 시간에 대한 미분 항을 4차 근사하기 위한 수치적인 알고리즘이 요구된다. Runge-Kutta method 같은 여러 가지 수치 방법들을 결합하여 시간과 로그 가격에 대한 격자들이 선형으로 비례하는 관계에서 4차 수치적인 알고리즘을 제안하고 안정성을 보이고자 한다. 아울러 증명의 현상이 실제적으로 구현이 되는지를 수치적인 실험을 통하여 뒷받침하고자 한다.