권도현 연구실은 서울시립대학교 수학과를 기반으로, 편미분방정식(PDE)의 해석과 그 응용을 중심으로 한 첨단 수학 연구를 수행하고 있습니다. 본 연구실은 PDE의 이론적 구조와 해의 존재성, 유일성, 그리고 장기적 거동에 대한 심도 있는 분석을 통해, 수학적 기초 이론의 발전에 기여하고 있습니다. 특히, 기울기 흐름(gradient flow) 구조와 변분법, 최적화 이론을 융합하여, 복잡한 자연현상 및 인공지능 문제를 수리적으로 모델링하고 해석하는 데 주력하고 있습니다. 최근에는 기계학습, 최적화, 생성모델 등 인공지능 분야와의 융합 연구가 활발히 이루어지고 있습니다. 예를 들어, 확산모델, Wasserstein GAN, 강화학습 등에서 PDE와 최적수송 이론을 접목하여, 데이터 기반의 문제 해결과 새로운 알고리즘 개발에 기여하고 있습니다. 이러한 연구는 이론적 수학과 실용적 인공지능 기술의 경계를 허물며, 다양한 학제 간 융합 연구를 선도하고 있습니다. 또한, 본 연구실은 유체역학 및 자기유체역학(MHD)에서의 비선형 PDE 해석, 특이성 형성, 소용돌이 및 자기장 구조, 혼돈과 안정성 등 복잡계 현상에 대한 수리적 연구를 수행하고 있습니다. 이를 통해 기상, 해양, 천체물리, 플라즈마 등 다양한 자연현상에 대한 이해를 심화시키고, 실제 문제 해결에 필요한 수치해석 및 시뮬레이션 기법 개발에도 기여하고 있습니다. 기하적 해석, 변분 문제, 기하적 흐름, 최적수송 등은 본 연구실의 또 다른 핵심 연구 분야입니다. 최소곡률 흐름, 면적보존 곡률 흐름, 결정질 곡률 흐름 등 다양한 기하적 진화 방정식의 해석과, 생성모델의 수학적 기반 연구를 통해, 순수수학과 응용수학의 경계를 넘나드는 연구를 진행하고 있습니다. 이러한 연구는 영상처리, 데이터 과학, 물리모델링 등 다양한 분야와의 융합을 촉진하고 있습니다. 권도현 연구실은 이론적 연구와 더불어, 실제 데이터와 물리적 현상에 기반한 문제 해결, 수치적 방법론 개발, 실험적 검증 등 실용적 연구에도 힘쓰고 있습니다. 다양한 국내외 연구기관 및 학계와의 협력을 통해, 수학의 새로운 지평을 열고자 노력하고 있습니다.