본 연구실은 편미분방정식(PDE)의 해석적 연구와 이를 기반으로 한 최적화 및 기계학습 분야의 응용을 중점적으로 다루고 있습니다. 편미분방정식은 물리, 공학, 생명과학 등 다양한 자연현상을 수학적으로 모델링하는 데 필수적인 도구로, 본 연구실에서는 이러한 방정식의 이론적 구조와 해의 존재성, 유일성, 그리고 장기적 거동을 심도 있게 분석합니다. 특히, 최근에는 기계학습과 최적화 문제에 편미분방정식의 수리적 구조를 접목하는 연구가 활발히 이루어지고 있습니다. 예를 들어, 기울기 흐름(gradient flow) 구조를 활용하여 최적화 문제의 수렴성 및 안정성을 분석하고, 확률적 최적화, 강화학습, 생성모델 등 다양한 인공지능 분야에 PDE 기반의 이론을 적용하고 있습니다. 이러한 연구는 이론적 수학과 실용적 인공지능 기술의 융합을 통해 새로운 알고리즘 개발과 성능 향상에 기여하고 있습니다. 더불어, 본 연구실은 실제 데이터와 물리적 현상에 기반한 문제 해결에도 주력하고 있습니다. 예를 들어, 확산모델, 강화학습, 역문제 등에서 PDE의 해석적 도구와 최적화 이론을 결합하여, 복잡한 시스템의 거동을 예측하고 제어하는 방법론을 개발하고 있습니다. 이를 통해 수학적 이론의 실질적 응용 가능성을 넓히고, 다양한 학제 간 연구를 선도하고 있습니다.

본 연구실은 유체역학 및 자기유체역학(MHD)에서 나타나는 비선형 편미분방정식의 해석과 특이성 형성(singularity formation)에 대한 연구를 수행하고 있습니다. 유체의 운동을 기술하는 Navier-Stokes 방정식, Euler 방정식, 그리고 자기장과의 상호작용을 다루는 이상 MHD 방정식 등은 복잡한 비선형 구조와 다양한 현상을 내포하고 있어, 수학적 분석이 매우 도전적인 분야입니다. 특히, 본 연구실에서는 소용돌이 구조(vortex structure), 자기장 구조(magnetic field structure), 혼돈(chaos), 안정성(stability) 등 유체 및 플라즈마 내에서 발생하는 다양한 현상의 수리적 원리를 탐구합니다. 최근에는 2차원 및 3차원 비압축성 Euler 방정식에서의 유한시간 특이성 형성, 자기유체역학에서의 난류 및 안정성 문제, 그리고 경계 조건이 복잡한 영역에서의 해의 존재성 및 거동에 대한 연구가 활발히 이루어지고 있습니다. 이러한 연구는 순수 수학적 이론뿐 아니라, 실제 자연현상 및 공학적 문제에 대한 이해를 심화시키는 데 중요한 역할을 합니다. 예를 들어, 기상, 해양, 천체물리, 핵융합 등 다양한 분야에서 유체 및 플라즈마의 거동을 예측하고 제어하는 데 필요한 수리적 기반을 제공하며, 수치해석 및 시뮬레이션 기법 개발에도 직접적으로 기여하고 있습니다.

연구실에서는 기하적 해석(geometric analysis)과 변분법(calculus of variations)을 바탕으로 한 다양한 수학적 문제를 다룹니다. 대표적으로, 기하적 흐름(geometric flows), 변분 문제, 기하적 부등식, 최적수송(optimal transport) 등은 미분기하학, 해석학, 확률론이 융합된 현대 수학의 핵심 주제입니다. 특히, 최소곡률 흐름(mean curvature flow), 면적보존 곡률 흐름, 결정질 곡률 흐름 등 다양한 기하적 진화 방정식의 해석과 장기적 거동, 그리고 경계 조건이나 비선형성이 강한 경우의 특이성 분석에 집중하고 있습니다. 또한, 최적수송 이론은 확률분포 간의 거리 개념을 도입하여, 생성모델(예: 확산모델, Wasserstein GAN 등)의 수학적 기반을 제공하며, 실제 데이터의 구조적 특성을 반영하는 데 중요한 역할을 합니다. 이러한 기하적 및 변분적 접근은 순수수학적 이론 발전뿐 아니라, 기계학습, 영상처리, 물리모델링 등 다양한 응용 분야와의 접점을 넓히고 있습니다. 연구실에서는 이론적 연구와 더불어, 실제 문제 해결을 위한 수치적 방법론 개발 및 실험적 검증에도 힘쓰고 있습니다.