유사대칭함수(quasisymmetric function)는 대칭함수(symmetric function)의 자연스러운 일반화로서, 대수적 조합론, 표현론, 호프대수(Hopf algebra), 기하학을 포함하는 다양한 분야에서 활발하게 연구되고 있는 매우 트렌디한 주제이다. 특히 표현론적 측면에서 이 함수들은 0-헥케대수와 깊은 관계를 가지고 있는데 이는 0-헥케대수의 유한차원 표현 그로센딕환(Grothendieck ring)이 유사대칭함수환을 범주화(categorify)한다는 사실로부터 가장 잘 드러난다. 2010년대 이후의 0-헥케대수 표현론의 주된 연구 방향은 의미 있는 유사대칭함수들을 범주화하는 것이었다. 그 중 가장 주목할 만한 결과로는 {quasymmetric Schur funcitions}, {dual immaculate basis}, {extended Schur functions}과 같은 중요 기저들을 범주화하는 표현의 구성(construction)을 들 수 있다. 본 연구에서는 0-헥케대수의 유한차원 표현에서 빌딩블록(building block) 역할을 하는 이 표현들의 성질을 규명한다. 핵심적인 문제로는 이 표현들의 사영덮개(projective cover)를 구하고, 이를 이용하여 이 표현들의 통일된 구성 방법을 제시하는 것이다.

본 과제는 아핀 리대수의 기약 표현에서 극대 지배 무게를 중심으로 구조를 밝히는 연구임. 연구 목표는 극대 무게의 분할 모델 조합론, cycle sieving phenomenon, 레벌-랭크 쌍대성, 스트링 함수 등을 체계적으로 규명하는 데 있음. 핵심 연구 내용은 1차년도에 dominant maximal weights의 조합론과 level-rank duality를 연구하고, 2차년도에 modular form, 세타 함수, k bounded 분할로 확장하여 -슈어함수와 affine Weyl group/underlying finite Weyl group의 성질을 분석하는 것임. 기대 효과는 weight space decomposition 이해 증진 및 lattice paths, Young tableaux, Young wall 사이 조합론적 관계를 표현론적 언어로 정리하는 데 있음.

본 과제는 슈어 Q-함수 이론에 맞는 삽입 알고리듬과 플랙틱 모노이드를 개발해, 대칭함수·양자군 표현론·슈베르트 계산 등에서 나타나는 핵심 문제를 푸는 연구임. 연구 목표는 슈어 Q-함수에 적합한 insertion 알고리듬과 플랙틱 모노이드를 세우고 이를 이용해 여러 등식을 조합론적으로 설명하며 기저 모델까지 확장하는 데 있음. 핵심 연구 내용은 1차년도 이동된 jeu de taquin 이론 보완, 2차년도 슈어 Q-함수 기반 알고리듬과 대칭함수환 부분환 Lift 플랙틱 모노이드 구성, 3차년도 generalized semistandard decomposition tableaux 제안 및 군론·표현론·기하학 융합, quantum queer Lie superalgebra의 기약표현 결정기저 모델 발굴임. 기대 효과는 슈어 Q-함수 구조 상수 연구의 획기적 발전, 확장 알파벳 단어의 insertion 알고리듬 진전, hypoplactic 모노이드·슈퍼 플랙틱 모노이드 등 플랙틱 모노이드 주제 통합 방법론 제시 및 큰 시너지 창출임.

본 사업은 이산 및 기하 구조 중심의 순수·응용수학 교육과 연구를 통해 우수한 박사인력과 창의적 수리과학 인재를 양성하고, 세계 수준의 독창적 연구 성과를 만드는 사업임. 연구 목표는 참여교수 6인의 연구 역량을 바탕으로 각 전공 분야별 최정상급 국제저명학술지 논문 게재, 보정 IF 및 피인용 횟수 향상, 국제학술상·기조강연·초청강연, 전문학술저서 저술 및 SCI급 편집위원(장) 활동, 순수 성과의 산업 적용을 위한 국내외 특허 등록과 산업체 기술 이전 달성에 있음. 기대 효과는 국내 최고수준의 서강대학교 수학과 대학원이 세계적 연구 경쟁력을 갖춘 교육·연구기관으로 성장하고, BK21 PLUS 지원으로 대학원생이 연구에 집중하며, 순수·응용 전공자의 학계 및 산업 진출 확대와 수학의 실질적 응용성 입증으로 이어짐.