운동이론에서 기초 모델인 볼츠만 방정식은 비선형이며 고차원인 충돌 연산자를 통해 입자 분포함수의 진화를 기술한다. 그러나 그 수치해는 특히 비탄성 충돌과 고차원 속도 영역에서 여전히 계산 부담이 크다. 본 연구에서는 푸리에 스펙트럴 방법과 딥러닝을 결합하여 충돌 연산자를 푸리에 공간에서 효율적으로 근사하는 혼합 프레임워크인 Fourier Neural Spectral Network(FourierSpecNet)를 제안한다. FourierSpecNet은 해상도 불변 학습을 달성하며 제로샷 초해상도(zero-shot super-resolution)를 지원함으로써 재학습 없이도 관측되지 않은 해상도에서 정확한 예측을 가능하게 한다. 실증적 검증을 넘어, 이산화가 정교해질수록 학습된 연산자가 스펙트럴 해로 수렴한다는 일관성(consistency) 결과를 도출한다. 우리는 본 방법을 맥스웰 분포(Maxwellian) 및 강구(하드스피어, hard-sphere) 분자 모델을 포함한 여러 벤치마크 사례와 더불어 비탄성 충돌 시나리오에서 평가한다. 그 결과 FourierSpecNet은 전통적인 스펙트럴 솔버에 비해 계산 비용을 유의미하게 감소시키면서도 경쟁력 있는 정확도를 제공함을 보여준다. 본 접근법은 탄성 및 비탄성 영역 모두에서 볼츠만 방정식을 풀기 위한 견고하고 확장 가능한 대안을 제공한다.

본 연구는 통계물리학의 한 문제에 딥 오퍼레이터 러닝 원리를 적용하는 방안을 탐색한다. 구체적으로, 미분 항의 대류(advection) 연산자와 적분 충돌(collision) 연산자로 이루어진 선형 운동 방정식을 고려하며, 이는 상호작용하는 입자 계에 대해 강력하지만 계산 비용이 큰 수학적 모델로서 방사선 수송(radiation transport) 등 다양한 분야에 널리 활용된다. 우리는 선형 운동 방정식의 고차원 충돌 연산자를 모델링하는 데 있어 Deep Operator 네트워크(DeepONet) 접근법의 역량을 조사한다. 이 적분 연산자는 의미 있는 물리적 시뮬레이션을 가능하게 하기 위해, 예컨대 DeepONet과 같은 대체(surrogate) 모델이 보존해야 하는 핵심 해석학적 구조를 포함한다. 본 연구에서는 이러한 적분 연산자의 필수 구조적 특성을 DeepONet 모델에 반영하기 위해 여러 가지 DeepONet 수정안을 제안한다. 보다 정확히, 딥오퍼레이터가 이론적 운동학적 충돌 연산자와 동일한 충돌 불변량(collision invariants)을 갖도록 trunk-net의 아키텍처를 조정하여, 모델링된 다입자 시스템에서 보존되는 양(예: 질량, mass)이 보존되도록 한다. 또한, 시뮬레이션 기반의 데이터 생성이 과도하게 비용이 많이 들지 않으면서도, 수정된 DeepONet 대체 모델들을 학습하기에 적합하도록 엔트로피(entropy)에서 영감을 얻은 데이터 샘플링 방법을 제안한다.

운동이론에서 기초 모델인 볼츠만 방정식은 비선형이며 고차원인 충돌 연산자를 통해 입자 분포함수의 진화를 기술한다. 그러나 그 수치해는 특히 비탄성 충돌과 고차원 속도 영역에서 여전히 계산 부담이 크다. 본 연구에서는 푸리에 스펙트럴 방법과 딥러닝을 결합하여 충돌 연산자를 푸리에 공간에서 효율적으로 근사하는 혼합 프레임워크인 Fourier Neural Spectral Network(FourierSpecNet)를 제안한다. FourierSpecNet은 해상도 불변 학습을 달성하며 제로샷 초해상도(zero-shot super-resolution)를 지원함으로써 재학습 없이도 관측되지 않은 해상도에서 정확한 예측을 가능하게 한다. 실증적 검증을 넘어, 이산화가 정교해질수록 학습된 연산자가 스펙트럴 해로 수렴한다는 일관성(consistency) 결과를 도출한다. 우리는 본 방법을 맥스웰 분포(Maxwellian) 및 강구(하드스피어, hard-sphere) 분자 모델을 포함한 여러 벤치마크 사례와 더불어 비탄성 충돌 시나리오에서 평가한다. 그 결과 FourierSpecNet은 전통적인 스펙트럴 솔버에 비해 계산 비용을 유의미하게 감소시키면서도 경쟁력 있는 정확도를 제공함을 보여준다. 본 접근법은 탄성 및 비탄성 영역 모두에서 볼츠만 방정식을 풀기 위한 견고하고 확장 가능한 대안을 제공한다.

본 연구는 통계물리학의 한 문제에 딥 오퍼레이터 러닝 원리를 적용하는 방안을 탐색한다. 구체적으로, 미분 항의 대류(advection) 연산자와 적분 충돌(collision) 연산자로 이루어진 선형 운동 방정식을 고려하며, 이는 상호작용하는 입자 계에 대해 강력하지만 계산 비용이 큰 수학적 모델로서 방사선 수송(radiation transport) 등 다양한 분야에 널리 활용된다. 우리는 선형 운동 방정식의 고차원 충돌 연산자를 모델링하는 데 있어 Deep Operator 네트워크(DeepONet) 접근법의 역량을 조사한다. 이 적분 연산자는 의미 있는 물리적 시뮬레이션을 가능하게 하기 위해, 예컨대 DeepONet과 같은 대체(surrogate) 모델이 보존해야 하는 핵심 해석학적 구조를 포함한다. 본 연구에서는 이러한 적분 연산자의 필수 구조적 특성을 DeepONet 모델에 반영하기 위해 여러 가지 DeepONet 수정안을 제안한다. 보다 정확히, 딥오퍼레이터가 이론적 운동학적 충돌 연산자와 동일한 충돌 불변량(collision invariants)을 갖도록 trunk-net의 아키텍처를 조정하여, 모델링된 다입자 시스템에서 보존되는 양(예: 질량, mass)이 보존되도록 한다. 또한, 시뮬레이션 기반의 데이터 생성이 과도하게 비용이 많이 들지 않으면서도, 수정된 DeepONet 대체 모델들을 학습하기에 적합하도록 엔트로피(entropy)에서 영감을 얻은 데이터 샘플링 방법을 제안한다.

우리는 슈뢰딩거 방정식의 반고전적 극한에 대한 다중 위상(multi-phase) 해를 계산하기 위한 딥러닝 접근법을 제시한다. 전통적인 방법은 리우빌 방정식(Liouville equation)의 모멘트(moment) 시스템을 닫기 위해 다중 위상 ansatz를 도출해야 하며, 이 과정은 흔히 계산적으로 집약적이고 비현실적이다. 본 방법은 해의 ansatz에서의 위상 개수 $N$을 나타내는 $2N\times 2N$ 모멘트 시스템을 닫기 위해, 새로운 2단계 신경망(two-stage neural network) 프레임워크를 도입함으로써 효율적인 대안을 제공한다. 첫 번째 단계에서는 더 높은 차수의 모멘트와 더 낮은 차수의 모멘트(및 이들의 도함수) 사이의 매핑을 학습하도록 신경망을 훈련한다. 두 번째 단계에서는 물리 기반 신경망(physics-informed neural networks, PINNs)을 통합하여, 학습된 더 높은 차수의 모멘트를 체계적으로 시스템을 닫는 방식으로 대입한다. 우리는 두 손실 함수 및 신경망 근사에 대한 수렴(convergence)의 이론적 보장을 제시한다. 수치 실험은 다중 위상 해에서 다양한 위상 수 $N$을 사용한 1차원 및 2차원 문제에 대해 본 방법의 유효성을 보여준다. 결과는 제안된 접근법이 기존 기법에 비해 정확성과 계산 효율 측면에서 우수함을 확인한다.

편미분방정식(PDE)은 물리학, 공학, 금융을 포함한 수많은 분야에서 자연 현상을 이해하고 예측하는 데 근간이 된다. 그러나 매개변수 편미분방정식을 푸는 일은 복잡한 과제로, 효율적인 수치해석 방법이 필요하다. 본 논문에서는 유한요소 오퍼레이터 네트워크(Finite Element Operator Network, FEONet)를 이용하여 매개변수 편미분방정식을 푸는 새로운 접근법을 제안한다. 제안 방법은 전통적인 수치기법, 특히 유한요소법과 딥러닝의 성능을 결합하여, 어떤 쌍을 이루는 입력-출력 학습 데이터도 없이 매개변수 편미분방정식을 해석한다. 우리는 여러 벤치마크 문제에 대해 다양한 실험을 수행하였고, 그 결과 본 접근법이 여러 설정과 환경에서 우수한 성능을 보였음을 확인했으며, 정확도, 일반화, 그리고 계산적 유연성 측면에서의 다양성을 입증하였다. 본 방법은 메쉬리스(meshless)는 아니지만, FEONet 프레임워크는 경계 조건이 다양하고 특이 거동이 나타나는 복잡한 영역을 모델링하는 데 PDE가 핵심적으로 활용되는 다양한 분야에 적용될 가능성을 보여준다. 또한 수치해석에서 유한요소 근사를 활용하여, 본 접근법을 뒷받침하기 위한 이론적 수렴 분석을 제공한다.