우리는 매끈한 4-다양체 안에 위상적으로 매장된 표면에 대해, 그러한 표면에 매끄러운 동형(동등한) 구체를 부여하는 위상적 동이불변(topological isotopy)을 제공하는 새로운 매끈하게 하는(smoothing) 기법을 제시한다. 응용으로서, 우리는 특정한 원판과 구에 대해, 동이불변을 모듈로(modulo isotopy) 하는 차원 4에서의 “위상적 = 매끈한” 결과를 증명한다. 우리의 접근에서 핵심 단계는 Quinn의 매끈하게 하는 이론을 Gabai의 4차원 라이트 벌브 정리(4-dimensional light bulb theorem)와, 이어지는 Schneiderman–Teichner 및 Kosanović–Teichner의 발전 아이디어들과 연결하는 것이다. 또한 이 매끈하게 하는 기법의 또 다른 응용으로, 우리는 Dax 불변량의 위상적 버전을 얻으며, 이는 4-다양체 안의 위상적 원판들에 대한 위상적 동이불변 장애를 제공한다.

존 밀노는 1957년의 논문에서 연결(link)의 장식(longitude)에 대한 연결군(link group)의 하위 중심 계열(lower central series)과의 상대적 호모토피 분류를 측정하는 연결 불변량(link invariants)을 도입하였다. 그 결과, 이러한 불변량은 연결군의 하위 중심 계열 몫들을 결정한다. 이 연구는 수십 년에 걸친 연구를 촉진하였고, 지대한 영향을 미쳤다. 밀노의 원래 문제 중 하나는 여전히 해결되지 않은 채로 남아 있었는데, 곧 연결군의 초월적(transfinite) 하위 중심 계열로부터 유사한 불변량을 추출하는 것이었다. 우리는 3차원 매니폴드(3-manifolds)의 더 넓은 설정에서 밀노의 불변량을 재정식화하고 확장하였으며, 그의 원래 불변량을 특수 사례로 둔다. 우리는 일반적인 3차원 매니폴드의 군(3-manifold groups)에 대한 밀노의 문제를 해결하는데, 초월적 불변량(transfinite invariants)에 대한 이론을 전개하고 비자명한 값들을 실현한다.

We address primary decomposition conjectures for knot concordance groups, which predict direct sum decompositions into primary parts. We show that the smooth concordance group of topologically slice knots has a large subgroup for which the conjectures are true and there are infinitely many primary parts, each of which has infinite rank. This supports the conjectures for topologically slice knots. We also prove analogues for the associated graded groups of the bipolar filtration of topologically slice knots. Among ingredients of the proof, we use amenable L-2-signatures, Ozsvath-Szabo d-invariants and Nemethi's result on Heegaard Floer homology of Seifert 3-manifolds. In an appendix, we present a general formulation of the notion of primary decomposition.

모든 정수 g에 대하여, 위상적 4-제네라스가 g보다 큰 2-해결 가능(2-solvable)이며 2-쌍극(2-bipolar)인 매듭을 구성한다. 2-해결 가능 매듭은 특히 대수적으로 절단 가능(algebraically slice)하며 Casson-Gordon 장애가 소멸한다는 점에 유의한다. 유사하게, 게이지 이론과 플로어(Floer) 호몰로지로부터 알려진 매끄러운 4-제네라스의 모든 경계는 2-쌍극 매듭에 대해서도 소멸한다. 또한, 우리의 매듭은 D-4 안에서 매끄럽게 매장된 높이 네(height four) grope를 매끄럽게 포함하여 경계를 이룬다. 이는 2-해결 가능성보다 선행적으로 더 강한 조건이다. 우리는 기본군의 메타-메타아벨(meta-metabelian) 표현과 연관된 L-(2)-시그니처 결함(signature defects)으로부터 비롯된 4-제네라스에 대한 새로운 하한을 사용한다.

For every integer g, we construct a 2-solvable and 2-bipolar knot whose topological 4-genus is greater than g. Note that 2-solvable knots are in particular algebraically slice and have vanishing Casson-Gordon obstructions. Similarly all known smooth 4-genus bounds from gauge theory and Floer homology vanish for 2-bipolar knots. Moreover, our knots bound smoothly embedded height four gropes in $D^4$, an a priori stronger condition than being 2-solvable. We use new lower bounds for the 4-genus arising from $L^{(2)}$-signature defects associated to meta-metabelian representations of the fundamental group.

Cochran, Harvey 및 Horn의 쌍극자 여과(bipolar filtration)는 위상적으로 절단 가능한(topologically slice) 매듭의 매끄러운(concordance) 군에서 더 깊은 구조를 연구하기 위한 틀을 제시한다. 우리는 위상적으로 절단 가능한 매듭들에 대한 쌍극자 여과의 등급 몫(graded quotient)이 1보다 큰 각 단계에서 무한한 순위(infinite rank)를 가짐을 보인다. 이 몫에서의 자명하지 않은 원소를 검출하기 위해, 증명은 더불어 고차의 가환적(amenable) Cheeger-Gromov L-2 rho 불변량과 무한히 많은 Heegaard Floer 교정항 d-불변량을 동시에 사용한다. (C) 2021 Elsevier Inc. All rights reserved.

본 논문에서는 매듭 켄코던스 군에 대한 일차 분해(primary decomposition) 추측을 다룬다. 이 추측은 일차 부분(primary parts)으로의 직접합 분해를 예측한다. 우리는 위상적으로 절단 가능한 매듭(topologically slice knots)의 매끄러운 켄코던스 군에서, 이 추측이 성립하는 큰 부분군을 보이며, 또한 무한히 많은 일차 부분들이 존재하고 각 일차 부분은 무한한 순위(infinite rank)를 가짐을 증명한다. 이는 위상적으로 절단 가능한 매듭에 대해 추측을 지지한다. 더 나아가 위상적으로 절단 가능한 매듭들의 쌍극성 여과(bipolar filtration)에서 연관된 등급화된 군(associated graded groups)에 대한 유사 정리를 증명한다. 증명의 구성 요소로서, 가해 가능(amenable)한 $L^2$ -시그니처, Ozsváth-Szabó의 $d$ -불변량(invariants), 그리고 셰이퍼트 3-다양체(Seifert 3-manifolds)의 헤에가드 플로어 동형론(Heegaard Floer homology)에 관한 Némethi의 결과를 사용한다. 부록에서는 일차 분해의 개념에 대한 일반적인 정식을 제시한다.

우리는 매끈한 4-다양체 안에 위상적으로 매장된 표면에 대해, 그러한 표면에 매끄러운 동형(동등한) 구체를 부여하는 위상적 동이불변(topological isotopy)을 제공하는 새로운 매끈하게 하는(smoothing) 기법을 제시한다. 응용으로서, 우리는 특정한 원판과 구에 대해, 동이불변을 모듈로(modulo isotopy) 하는 차원 4에서의 “위상적 = 매끈한” 결과를 증명한다. 우리의 접근에서 핵심 단계는 Quinn의 매끈하게 하는 이론을 Gabai의 4차원 라이트 벌브 정리(4-dimensional light bulb theorem)와, 이어지는 Schneiderman–Teichner 및 Kosanović–Teichner의 발전 아이디어들과 연결하는 것이다. 또한 이 매끈하게 하는 기법의 또 다른 응용으로, 우리는 Dax 불변량의 위상적 버전을 얻으며, 이는 4-다양체 안의 위상적 원판들에 대한 위상적 동이불변 장애를 제공한다.

존 밀노는 1957년의 논문에서 연결(link)의 장식(longitude)에 대한 연결군(link group)의 하위 중심 계열(lower central series)과의 상대적 호모토피 분류를 측정하는 연결 불변량(link invariants)을 도입하였다. 그 결과, 이러한 불변량은 연결군의 하위 중심 계열 몫들을 결정한다. 이 연구는 수십 년에 걸친 연구를 촉진하였고, 지대한 영향을 미쳤다. 밀노의 원래 문제 중 하나는 여전히 해결되지 않은 채로 남아 있었는데, 곧 연결군의 초월적(transfinite) 하위 중심 계열로부터 유사한 불변량을 추출하는 것이었다. 우리는 3차원 매니폴드(3-manifolds)의 더 넓은 설정에서 밀노의 불변량을 재정식화하고 확장하였으며, 그의 원래 불변량을 특수 사례로 둔다. 우리는 일반적인 3차원 매니폴드의 군(3-manifold groups)에 대한 밀노의 문제를 해결하는데, 초월적 불변량(transfinite invariants)에 대한 이론을 전개하고 비자명한 값들을 실현한다.

We address primary decomposition conjectures for knot concordance groups, which predict direct sum decompositions into primary parts. We show that the smooth concordance group of topologically slice knots has a large subgroup for which the conjectures are true and there are infinitely many primary parts, each of which has infinite rank. This supports the conjectures for topologically slice knots. We also prove analogues for the associated graded groups of the bipolar filtration of topologically slice knots. Among ingredients of the proof, we use amenable L-2-signatures, Ozsvath-Szabo d-invariants and Nemethi's result on Heegaard Floer homology of Seifert 3-manifolds. In an appendix, we present a general formulation of the notion of primary decomposition.