무작위 배치 상호작용과 이질적인 외부 잡음을 갖는 이산 합의기반 최적화(discrete consensus-based optimization, CBO) 알고리즘에 대해, 확률적 합의 및 수렴을 제시한다. 다양한 응용과 여러 실제 시뮬레이션에서의 성공적인 성능에도 불구하고, 이산 CBO 알고리즘의 수렴은 그러한 일반성 하에서 엄밀하게 연구되지 않았다. 본 연구에서는 가중 대표점과 무작위 배치 상호작용을 포함하는 일반화된 이산 CBO 알고리즘을 도입하고, 제안된 이산 CBO 알고리즘이 시스템 매개변수에 대한 적절한 가정 하에서 공통 평형 상태로의 확률적 합의와 수렴을 지수적으로 빠르게 나타냄을 보인다. 이를 위해, 주어진 무작위 배치 상호작용을 갖는 CBO 알고리즘을 무작위 스위칭 네트워크 위상도를 갖는 이산 합의 모델로 재구성한 다음, 충분히 긴 시간 구간 동안의 상호작용의 혼합 성질을 이용하여 평균제곱 및 거의 확실한(almost sure) 의미에서의 확률적 합의와 수렴에 대한 추정을 도출한다. 본 연구에서 제안하는 분석은 완전 배치 상호작용과 동질적인 외부 잡음을 갖는 CBO 모델의 수렴 해석에 관한 기존 연구를 상당히 개선한다.

유클리드 평면에서 제한된 가시성을 갖는 무기억(mem o ryless) 에이전트들을 위한 연속시간(continuous-in-time) 랑데뷰(rendezvous) 알고리즘이 [N. Gordon, I. A. Wagner, 및 A. M. Bruckstein, Ant Colony Optimization and Swarm Intelligence, Springer, Berlin, 2004, pp. 142--153]에서 제안되었고, [L. I. Bellaiche and A. Bruckstein, Swarm Intell., 11 (2017), pp. 271--293]에서는 이를 미분방정식의 한 계로 정식화하였다. 우리는 이 알고리즘을 에이전트가 임의의 차원의 유클리드 공간에서 움직이도록 일반화한다. 그리고 본 연구 이전에는, 평면 위의 원래 알고리즘에 대해서조차도, 이 알고리즘에 대한 엄밀한 존재(existence) 이론이 제시되지 않았으므로 이를 제공한다. 마지막으로 차원이 3 이하인 경우, 에이전트 수에 대해 견고한(frobust) 특성을 가지면서 랑데뷰가 유한 시간 내에 달성됨을 보인다.

무작위 배치 상호작용과 이질적인 외부 잡음을 갖는 이산 합의기반 최적화(discrete consensus-based optimization, CBO) 알고리즘에 대해, 확률적 합의 및 수렴을 제시한다. 다양한 응용과 여러 실제 시뮬레이션에서의 성공적인 성능에도 불구하고, 이산 CBO 알고리즘의 수렴은 그러한 일반성 하에서 엄밀하게 연구되지 않았다. 본 연구에서는 가중 대표점과 무작위 배치 상호작용을 포함하는 일반화된 이산 CBO 알고리즘을 도입하고, 제안된 이산 CBO 알고리즘이 시스템 매개변수에 대한 적절한 가정 하에서 공통 평형 상태로의 확률적 합의와 수렴을 지수적으로 빠르게 나타냄을 보인다. 이를 위해, 주어진 무작위 배치 상호작용을 갖는 CBO 알고리즘을 무작위 스위칭 네트워크 위상도를 갖는 이산 합의 모델로 재구성한 다음, 충분히 긴 시간 구간 동안의 상호작용의 혼합 성질을 이용하여 평균제곱 및 거의 확실한(almost sure) 의미에서의 확률적 합의와 수렴에 대한 추정을 도출한다. 본 연구에서 제안하는 분석은 완전 배치 상호작용과 동질적인 외부 잡음을 갖는 CBO 모델의 수렴 해석에 관한 기존 연구를 상당히 개선한다.

유클리드 평면에서 제한된 가시성을 갖는 무기억(mem o ryless) 에이전트들을 위한 연속시간(continuous-in-time) 랑데뷰(rendezvous) 알고리즘이 [N. Gordon, I. A. Wagner, 및 A. M. Bruckstein, Ant Colony Optimization and Swarm Intelligence, Springer, Berlin, 2004, pp. 142--153]에서 제안되었고, [L. I. Bellaiche and A. Bruckstein, Swarm Intell., 11 (2017), pp. 271--293]에서는 이를 미분방정식의 한 계로 정식화하였다. 우리는 이 알고리즘을 에이전트가 임의의 차원의 유클리드 공간에서 움직이도록 일반화한다. 그리고 본 연구 이전에는, 평면 위의 원래 알고리즘에 대해서조차도, 이 알고리즘에 대한 엄밀한 존재(existence) 이론이 제시되지 않았으므로 이를 제공한다. 마지막으로 차원이 3 이하인 경우, 에이전트 수에 대해 견고한(frobust) 특성을 가지면서 랑데뷰가 유한 시간 내에 달성됨을 보인다.

분산 최적화는 다양한 분야에서의 폭넓은 응용으로 인해 많은 관심을 받아왔다. 이는 그래프로 연결된 여러 에이전트가 협력적으로 전체 비용을 최적화하는 방식으로 구성된다. 응용에서 흔히 에이전트의 그래프는 방향 그래프로 주어진다. 그래디언트-푸시 알고리즘(gradient-push algorithm)은 방향 그래프를 통해 연결된 에이전트들을 대상으로 하는 분산 최적화의 기본 방법이다. 문헌에서의 널리 사용에도 불구하고, 단계크기(stepsize)가 상수이고 도메인이 전체 공간인 중요한 경우에 대한 수렴 성질은 충분히 정립되어 있지 않다. 본 연구는 단계크기 α>0를 사용하는 그래디언트-푸시 알고리즘이, 단계크기 $\alpha$가 특정 값보다 작을 때 최적화자(optimizer)의 $O(\alpha )$-근방으로 지수적으로 빠르게 수렴함을 증명한다. 이를 위해 각 비용(cost)이 매끄럽고 전체 비용(total cost)이 강하게 볼록하다고 가정한다. 이론적 수렴 결과를 뒷받침하기 위해 수치 실험을 제시한다. \textcolor{black}{또한, 그래디언트-푸시 알고리즘이 에이전트들의 그래디언트 정보(gradient informations)의 통신을 포함하는 그래디언트-푸시 알고리즘의 변형인 Push-DIGing 알고리즘보다 최소화자(minimizer)의 작은 근방에 더 빠르게 접근할 수 있음을 보여주는 수치 실험도 함께 제시한다.}

완전하고 매끈한 리만 다양체 위에서 군집(flocking)하는 Cucker-Smale (C-S) 모델의 평균장(mean-field) 한계를 연구한다. 이를 위해 먼저 BBGKY 계층을 사용하여 다양체 위에서의 운동학적(manifold) C-S 모델을 형식적으로 유도하고, 출현하는 동역학에 대한 몇 가지 선험적(a priori) 추정을 도출한다. 그런 다음 일반화된 particle-in-cell 방법을 이용하여 입자 모형으로부터 이에 대응하는 운동학적 모형으로의 엄밀한 평균장 한계를 제시한다. 엄밀한 평균장 한계의 부수 결과로서, 유도된 운동학적 모형에 대한 측도값 해( measure-valued solution)의 전역 존재(global existence)도 함께 확립한다. $R^d$ 에서의 대응하는 결과와 비교하면, 본 절차는 홀로노미(holonomy)에 대한 추가 가정과 병렬이동(parallel transports)의 도함수에 대한 적절한 a priori 경계(bound)를 필요로 한다. 구체적인 예로서, 쌍곡공간(hyperbolic space) $H^d$ 가 제안된 정립 가정(standing assumptions)을 만족함을 확인한다.