이 논문에서는 국소화된 케른 문자(localized Chern character)의 곱셈적 성질을 증명한다. 그 직접적인 결과로, 국소화된 케른 문자는 주기적 복합체(periodic complexes)의 K-군에서 변이적(bivariant) 차우(cohomology) 코호몰로지 군으로의 환 준동형(ring homomorphism)을 이끈다. 응용으로서, Kiem–Li의 여공간(cosection) 국소화 교차 동형사상(intersection homomorphisms)의 함수성을 증명한다.

Borisov와 Joyce는 파생 미분 기하학을 사용하여, Calabi–Yau 4-fold 위의 안정 층의 콤팩트(moduli space)에서 실(real) 가상 사이클을 구성하였다. 우리는 대수적 가상 사이클을 구성한다. 핵심 단계는 Edidin과 Graham의 SO(2n,C)-다발에 대한 제곱근 오일러 계수(square root Euler class)를 동질적(isotropic) 절의 영점 자취로, 또는 동질적 원뿔(isotropic cone)의 지지(support)로 국소화(localization)하는 것이다. 우리는 토러스 국소화 정리를 증명하여, 불변량들을 계산 가능하게 만들고, 고정 자취(fixed locus)가 콤팩트인 경우 비콤팩트(noncompact) 경우로까지 확장한다. 또한 K-이론적 정련을 제공하기 위해 K-이론적 제곱근 오일러 계수와 그들의 국소화된 버전을 정의한다. 후속 논문에서, 우리의 불변량이 Borisov와 Joyce의 불변량을 재현한다는 것을 증명한다.

안정 사상(Stable quasimaps)의 변형공간(moduli space)에서 n차원 사영공간(projective space) $mathbb{P}^n$에 대한 축소 성분(reduced component)에서, 도메인 곡선(domain curves)이 매끈한 부분의 치역(locus)의 폐포(closure)를 의미한다. 안정 사상(moduli space of stable maps)의 변형공간과 마찬가지로, 우리는 축소 성분이 속(genus) 2, 차수(degree) $ge3$에서 매끈함을 증명한다. 이어서, n차원 사영공간 $mathbb{P}^n$에서 완전교차(complete intersection) $X$로의 안정 준사상(stable quasimaps) 변형공간의 가상 근본 고리(virtual fundamental cycle)가 속 2, 차수 $ge3$에서, $mathbb{P}^n$의 축소 성분(reduced component)의 근본 고리(fundamental cycle)와 $X$의 속이 2 미만(<2)인 변형공간들의 가상 고리(virtual cycles)로부터 명시적으로 표현됨을 증명한다.

Lee와 Oh (프리프린트, arXiv:1809.10995, 2018)에서, 목표 공간이 사영공간 내에서 차원이 2 또는 3인 완전 교차(complete intersection)일 때, 종수 1 Gromov–Witten 불변량과 축소 불변량 사이의 Zinger의 비교 공식(Geom. Topol. 12 (2008), no. 2, 1203–1241; J. Differential Geom. 83 (2009), no. 2, 407–460)에 대해 대수적 증명을 제시하였다. 본 논문에서는 Lee와 Oh (프리프린트, arXiv:1809.10995, 2018)에서의 증명을 모든 차원으로, 그리고 descendant 불변량으로까지 확장한다.

이 논문에서는 국소화된 케른 문자(localized Chern character)의 곱셈적 성질을 증명한다. 그 직접적인 결과로, 국소화된 케른 문자는 주기적 복합체(periodic complexes)의 K-군에서 변이적(bivariant) 차우(cohomology) 코호몰로지 군으로의 환 준동형(ring homomorphism)을 이끈다. 응용으로서, Kiem–Li의 여공간(cosection) 국소화 교차 동형사상(intersection homomorphisms)의 함수성을 증명한다.

Borisov와 Joyce는 파생 미분 기하학을 사용하여, Calabi–Yau 4-fold 위의 안정 층의 콤팩트(moduli space)에서 실(real) 가상 사이클을 구성하였다. 우리는 대수적 가상 사이클을 구성한다. 핵심 단계는 Edidin과 Graham의 SO(2n,C)-다발에 대한 제곱근 오일러 계수(square root Euler class)를 동질적(isotropic) 절의 영점 자취로, 또는 동질적 원뿔(isotropic cone)의 지지(support)로 국소화(localization)하는 것이다. 우리는 토러스 국소화 정리를 증명하여, 불변량들을 계산 가능하게 만들고, 고정 자취(fixed locus)가 콤팩트인 경우 비콤팩트(noncompact) 경우로까지 확장한다. 또한 K-이론적 정련을 제공하기 위해 K-이론적 제곱근 오일러 계수와 그들의 국소화된 버전을 정의한다. 후속 논문에서, 우리의 불변량이 Borisov와 Joyce의 불변량을 재현한다는 것을 증명한다.

안정 사상(Stable quasimaps)의 변형공간(moduli space)에서 n차원 사영공간(projective space) $mathbb{P}^n$에 대한 축소 성분(reduced component)에서, 도메인 곡선(domain curves)이 매끈한 부분의 치역(locus)의 폐포(closure)를 의미한다. 안정 사상(moduli space of stable maps)의 변형공간과 마찬가지로, 우리는 축소 성분이 속(genus) 2, 차수(degree) $ge3$에서 매끈함을 증명한다. 이어서, n차원 사영공간 $mathbb{P}^n$에서 완전교차(complete intersection) $X$로의 안정 준사상(stable quasimaps) 변형공간의 가상 근본 고리(virtual fundamental cycle)가 속 2, 차수 $ge3$에서, $mathbb{P}^n$의 축소 성분(reduced component)의 근본 고리(fundamental cycle)와 $X$의 속이 2 미만(<2)인 변형공간들의 가상 고리(virtual cycles)로부터 명시적으로 표현됨을 증명한다.

Lee와 Oh (프리프린트, arXiv:1809.10995, 2018)에서, 목표 공간이 사영공간 내에서 차원이 2 또는 3인 완전 교차(complete intersection)일 때, 종수 1 Gromov–Witten 불변량과 축소 불변량 사이의 Zinger의 비교 공식(Geom. Topol. 12 (2008), no. 2, 1203–1241; J. Differential Geom. 83 (2009), no. 2, 407–460)에 대해 대수적 증명을 제시하였다. 본 논문에서는 Lee와 Oh (프리프린트, arXiv:1809.10995, 2018)에서의 증명을 모든 차원으로, 그리고 descendant 불변량으로까지 확장한다.

호프 지수는 벡터 다발의 한 단면의 영점의 중다도를 감김수와 동치시킨다. 우리는 이차 형식을 갖는 다발의 등방성 단면에 대한 여덟 가지 유사 정리를 제시한다. 또한 부분단면(localised) 가상 주기에의 응용과 DT${}^4$ 가상 주기에의 응용이 있다.

서로 다른 하나의 2단 복합체의 벤들(bundle) 단면에 의해 절단되어 얻어지는 한 개의 준매끄러운( quasi-smooth ) 유도된 공간을 생각할 때, 우리는 그 가상 사이클(virtual cycle)에 대한 두 가지 공식을 제시한다. 이들은 Chang–Li의 $p$-fields 구성과 양자 르프쉐츠 원리(Quantum Lefschetz principle)를 모형으로 하며, (안정적 또는 준-) 사상들의 모듈라이 공간에 적용할 때 이를 다시 얻는다. 복합체가 단일 벤들이면, 우리는 Kim–Kresch–Pantev의 결과를 회복한다.

이 조사 노트는 2018년 5월 Snowbird 워크숍 ‘Crossing the Walls in Enumerative Geometry’에서의 강연에 기초한다. 우리는 2-주기(complex)들에 대한 국소화된 케른(Chern) 문자(localized Chern characters)의 정의를 설명하고, 그 성질과 Gromov-Witten 이론에의 응용을 논한다. 이를 위해, 2-주기 복소체에 대한 국소화된 케른 문자가 어떻게 가상 기본 계급(virtual fundamental class)을 유도하는지를 설명한다.