n≥4인 차수의 Temperley–Lieb 대수 Fn에 대하여, 우리는 그뢰브너–시르시노프 기저를 구성한다. 구체적으로, 표준 단항들의 해당하는 유한 집합—이는 정확히 Fn의 완전 교환 가능 원소들—이 n=4, 5 및 6일 때 열거된다.

준결정체(Quasicrystals)는 수학적으로 순수 점(純粋点) 회절 스펙트럼(pure point diffractive spectrum)을 갖는 성질로 특징지어진다. 우리는 치환 타일링(substitution tilings)을 고찰하고, 절단-투영(cut-and-project) 구성으로부터 정의되는 정규 모형 집합(regular model sets)을 통해 순수 점 회절 스펙트럼을 특성화한다. 절단-투영 구성은 물리 공간 ℝ^d와, 유클리드 공간과 유한체(프로피니트, profinite) 군의 곱으로 이루어진 내부 공간을 사용하여 구성된다. 여기서 우리가 세우는 가정은 치환의 팽창(expansion) 사상이 대각화 가능(diagonalizable)하며, 그 고유값들이 모두 동일한 곱(multiplicity)을 갖는 대수적 켤레(algebraically conjugate) 관계에 있다는 것이다. 우리는 특정한 예에 대해 증명의 정확한 논증을 제시한다.

순수 이산 스펙트럼을 갖는 치환 타일링은 내적 공간이 유클리드 공간과 프로피니트(profinite) 군의 곱으로 주어지는 절단-사영(cut-and-project) 계획을 갖는 정칙 모델 집합으로 특징지어진다. 여기서의 가정은 치환의 팽창(expansion) 사상이 대각화 가능하며, 그 고유값들이 모두 같은 다중도를 가지면서 대수적으로 서로 켤레(동치)라는 것이다. Lee et al. [Acta Cryst. (2020), A76, 600-610]의 결과와의 차이는, 본 논문에서는 유니모듈러리티(unimodularity)를 더 이상 가정하지 않는다는 점이다.

우리는 ${\mathbb{R}}^d$ 위의 자기동형 타일링(self-affine tilings)에서 패치(patch)의 반복을 연구한다. 특히, 등차수열(arithmetic progressions)의 존재와 비존재를 다룬다. 먼저, 자기동형 타일링에서 팽창 사상(expansion map)에 대한 산술적 조건이 특정한 일차원 등차수열의 비존재를 의미함을 보인다. 다음으로, 어떤 부류의 자기동형 타일링에 대해서는 완전한 위수(full-rank) 무한 등차수열, 순수한 이산 동역학 스펙트럼(pure discrete dynamical spectrum), 그리고 한계 주기성(limit-periodicity)이 모두 서로 동치임을 보인다. 마지막으로, ${\mathbb{R}}^d$ 위의 자기유사 타일링(self-similar tilings)에서 완전한 위수 무한 등차수열의 존재 또는 비존재에 대한 완전한 그림을 제시한다.

본 연구는 ‘타일링(문양 맞추기)’과 수학을 통해 창의성과 수학에 대한 긍정적 태도를 함양하기 위한 프로그램 개발 및 적용 연구이다. 학교 수학에서 초등학교 4학년은 평면 도형을 밀기, 뒤집기, 회전하기를 통해 규칙 만들기 활동을 정기적으로 수행하고, 중학교 1학년은 정다각형의 내각을 다룬다. 실용수학(2015 교육과정) 및 수학과 문화(2022 교육과정)라는 고등학교 선택 과목에는 테셀레이션(문양 채우기) 활동이 포함되어 있다. 타일링(tessellation, 테셀레이션)은 알함브라궁과 같은 유명한 건축물뿐 아니라 현관, 욕실, 베란다, 광장 등 일상생활에서 흔히 접할 수 있다. 이러한 타일링을 예술로 승화시킨 예술가 에셔(Escher)의 작품은 널리 알려져 있다. 타일링은 예술과 수학을 연결하는 융합 교과적 성격의 주제이며, 학생들의 호기심을 자극하고 창의성을 함양하기에 충분한 주제이다. 최근에는 ‘무주기 단일 타일(aperiodic monotile)’의 발견이 있었다. 이를 바탕으로 다음 두 가지 질문을 제기하였다. “우리는 폭이 무한히 넓은 욕실 바닥을 타일링하려고 한다. 무주기적으로만 바닥을 타일링할 수 있는 타일 모양이 있는가?” 그리고 “우리는 폭이 무한히 넓은 욕실 바닥을 타일링하려고 한다. 타일의 회전한 버전과 반사한 버전만 허용할 때, 무주기적으로만 바닥을 타일링할 수 있는 단일 타일 모양이 존재하는가?” 위 두 질문을 중심으로 융합 교육 프로그램을 개발하고 고등학생을 대상으로 10회기의 수업을 진행하였다. 그 결과 학생들의 창의성을 향상시키고 수학에 대한 긍정적 태도를 개선할 수 있는 가능성을 확인할 수 있었다.

우리는 팽창 사상이 유니모듈러인 R^d 위의 원시 치환(substitution) 틸링을 고려한다. 우리는 팽창 사상의 모든 고유값이 동일한 다중도를 갖는 대수적 켤레(conjugates)라는 가정을 둔다. 이 경우, 유클리드 내적 공간(internal space)을 갖는 절단-사영(cut-and-project) 방식을 구성할 수 있다. 추가적인 어떤 조건 하에서, 치환 틸링이 순수 이산 스펙트럼(pure discrete spectrum)을 갖는다면, 해당 대표 점 집합들이 그 절단-사영 방식에서의 정칙 모델 세트(regular model sets)임을 보인다.

우리는 자기유사 타일링에서 패치(patch)의 반복을 연구한다. 특히 산술적 진행(arithmetic progressions)의 존재 및 비존재를 다룬다. 먼저, 팽창 사상(expansion map)이 만족하는 산술적 조건이 자기유사 타일링에서 1차원 산술적 진행의 비존재를 함의함을 보인다. 다음으로, 특정 부류의 자기유사 타일링에 대하여, 전랭크(infinite full-rank) 무한 산술적 진행의 존재, 순수점(point) 동역학 스펙트럼(pure point dynamical spectrum)을 갖는 것, 그리고 극한 주기성(limit periodic)을 갖는 것이 모두 동치임을 보인다. 마지막으로 1차원 경우에 대해 완전한 그림을 제시한다.

우리는 유한 국소 복잡성(FLC)을 가정하지 않는 치환 타일링과 델로네 집합을 고찰한다. 먼저 타일링 동역학계가 유일하게 에르고딕(uniquely ergodic)임을 보장하기 위한 충분조건과 실린더 집합(cylinder sets)의 측도에 대한 공식을 제시한다. 이어서 그들의 에르고딕-이론적 성질에 관한 여러 결과를 도출하며, 특히 강한 혼합(strong mixing)의 부재와 고유값(eigenvalues)의 존재를 위한 조건을 다루는데, 이는 수론적 결과를 가진다. 특히 팽창 행렬(expansion matrix)의 고유값 집합이 완전히 비-피소트(totally non-Pisot)이면, 해당 타일링 동역학계는 약하게 혼합(weakly mixing)된다. 더 나아가 우리는 치환 타일링에 대한 강직성(rigidity) 개념을 정의하고, 상대적으로 조밀한 이산 스펙트럼(relatively dense discrete spectrum), 약하게 혼합이 아님, 피소트 족(Pisot family), 메이어 집합(Meyer set) 성질의 네 가지 성질 간 동치에 관한 [29]의 결과가 비-FLC 경우에도, 강직성을 가정하면 그대로 확장됨을 보인다.

n≥4인 차수의 Temperley–Lieb 대수 Fn에 대하여, 우리는 그뢰브너–시르시노프 기저를 구성한다. 구체적으로, 표준 단항들의 해당하는 유한 집합—이는 정확히 Fn의 완전 교환 가능 원소들—이 n=4, 5 및 6일 때 열거된다.

준결정체(Quasicrystals)는 수학적으로 순수 점(純粋点) 회절 스펙트럼(pure point diffractive spectrum)을 갖는 성질로 특징지어진다. 우리는 치환 타일링(substitution tilings)을 고찰하고, 절단-투영(cut-and-project) 구성으로부터 정의되는 정규 모형 집합(regular model sets)을 통해 순수 점 회절 스펙트럼을 특성화한다. 절단-투영 구성은 물리 공간 ℝ^d와, 유클리드 공간과 유한체(프로피니트, profinite) 군의 곱으로 이루어진 내부 공간을 사용하여 구성된다. 여기서 우리가 세우는 가정은 치환의 팽창(expansion) 사상이 대각화 가능(diagonalizable)하며, 그 고유값들이 모두 동일한 곱(multiplicity)을 갖는 대수적 켤레(algebraically conjugate) 관계에 있다는 것이다. 우리는 특정한 예에 대해 증명의 정확한 논증을 제시한다.

순수 이산 스펙트럼을 갖는 치환 타일링은 내적 공간이 유클리드 공간과 프로피니트(profinite) 군의 곱으로 주어지는 절단-사영(cut-and-project) 계획을 갖는 정칙 모델 집합으로 특징지어진다. 여기서의 가정은 치환의 팽창(expansion) 사상이 대각화 가능하며, 그 고유값들이 모두 같은 다중도를 가지면서 대수적으로 서로 켤레(동치)라는 것이다. Lee et al. [Acta Cryst. (2020), A76, 600-610]의 결과와의 차이는, 본 논문에서는 유니모듈러리티(unimodularity)를 더 이상 가정하지 않는다는 점이다.

우리는 ${\mathbb{R}}^d$ 위의 자기동형 타일링(self-affine tilings)에서 패치(patch)의 반복을 연구한다. 특히, 등차수열(arithmetic progressions)의 존재와 비존재를 다룬다. 먼저, 자기동형 타일링에서 팽창 사상(expansion map)에 대한 산술적 조건이 특정한 일차원 등차수열의 비존재를 의미함을 보인다. 다음으로, 어떤 부류의 자기동형 타일링에 대해서는 완전한 위수(full-rank) 무한 등차수열, 순수한 이산 동역학 스펙트럼(pure discrete dynamical spectrum), 그리고 한계 주기성(limit-periodicity)이 모두 서로 동치임을 보인다. 마지막으로, ${\mathbb{R}}^d$ 위의 자기유사 타일링(self-similar tilings)에서 완전한 위수 무한 등차수열의 존재 또는 비존재에 대한 완전한 그림을 제시한다.