대류 항을 포함하는 소볼레프 방정식의 근사해를 구성하기 위하여 Crank-Nicolson 특성 유한요소법을 도입한다. Crank-Nicolson 특성 유한요소법에 대하여 시간 방향과 공간 방향에서의 수렴 차수가 $L^2$ 노름 공간에서 더 높게 검증된다.

본 논문에서는 대류 지배형 Sobolev 방정식의 근사해를 구하기 위해 분할 최소자승 특성 혼합 유한요소방법(MFEM)을 제시한다. 먼저 대류항과 시간 미분항을 효율적으로 처리하기 위하여, 최소자승 특성 MFEM을 적용하여 원 미지수(primal unknown)와 플럭스 미지수(flux unknown)에 대한 연립 방정식의 계를 구성한다. 다음으로, 최소자승 특성 MFEM에서 유도된 두 미지수에 대한 결합된 계를 두 개의 독립적인 계로 변환하기 위해 분할 최소자승 특성 MFEM을 도입한다. 분할 최소자승 특성 MFEM으로 구성된 근사가 원 미지수에 대해서는 L² 및 H¹ 노름 공간에서 최적 차수로 수렴함을 이론적으로 증명하고, 또한 플럭스 미지수에 대해서는 L² 노름 공간에서 최적 차수로 수렴함을 보인다. 아울러 이론적 결과의 타당성을 확인하기 위한 수치 결과도 제시한다.

본 논문에서는 포물선형 문제의 해를 근사하기 위하여 내부 패널티(interior penalty)를 갖는 준이산(semi-discrete) 혼합 불연속 갈레르킨 방법을 고찰한다. 우리는 오차 추정을 분석하기 위한 보조 투영(auxiliary projection)을 정의하고, 주 변수 u에 대해서 $$\begin{gathered} L^{ \\ infty}(L^2) \end{gathered}$$에서 최적 오차 추정치를, ut에 대해서 $L^2(L^2)$에서 최적 오차 추정치를, 그리고 플럭스 변수 $sigma$에 대해서 $$\begin{gathered} L^{ \\ infty}(L^2) \end{gathered}$$에서 준최적(suboptimal) 오차 추정치를 얻는다.

본 논문에서는 포물선형 문제에 대해 완전 이산화된 혼합 불연속 갈레르킨 근사(approximation)를 제시한다. 또한 주 변수를 위한 l^{ty}(L^2) 노름에서의 오차 추정과, 주 변수 및 플럭스(flux) 변수에 대한 에너지 노름에서의 오차 추정을 분석한다.

확장된 혼합 유한요소 방법(expanded mixed finite element method)에 기초하여, $\Omega \subset R^d$, $1\le d\le 3$에서 정의된 준선형 의사-포물선(quasilinear pseudo-parabolic) 방정식의 해 u에 대한 반이산(semidiscrete) 근사를 고려한다. 우리는 $\nabla u$ 및 $a(u)\nabla u+b(u)\nabla u_t$뿐 아니라 u에 대한 반이산 근사를 구성하고, 이러한 반이산 근사의 존재성을 증명한다. 또한 $\nabla u$ 및 $a(u)\nabla u+b(u)\nabla u_t$, 그리고 u에 대해 $L^2$ 노름(norm) 공간에서의 최적 수렴(optimal convergence)을 증명한다.

본 논문에서는 혼합 경계 조건을 갖는 비선형 포물형 문제의 해를 근사하기 위해 내부 패널티 항을 포함한 불연속 갈레르킨 유한요소 방법을 고찰한다. 우리는 크랭크-니콜슨 방법을 사용하여 완전 이산(discrete) 불연속 갈레르킨 근사를 정의하는, 구분된 다항식(piecewise polynomials)으로 이루어진 유한요소 공간을 구성한다. 오차 추정을 분석하기 위해, 적절한 투영을 구성하여 공간 및 시간 방향 모두에서 불연속 갈레르킨 근사의 대략적 사전(a priori) ${\ell }^{\infty }(L^2)$ 오차 추정이 최적 차수로 도출될 수 있음을 보인다.

본 논문에서는 반선형 Sobolev 방정식의 스칼라 미지수, 그 기울기, 그리고 그 플럭스를 근사하기 위해 외삽된 확장 혼합 유한요소 근사(extrapolated expanded mixed finite element approximations)를 구성한다. 비선형 방정식의 연립계 방정식을 풀어야 하는 어려움을 피하기 위해, 근사들을 구성할 때 외삽 기법을 사용한다. 또한 몇 가지 수치 예제를 통해 제안한 схем의 효율성을 보인다.

본 논문에서는 준선형 소보레프 방정식에 대한 확장 혼합 유한요소 정식화(expanded mixed finite element formulations)에서 사전적(a priori) L^{ infty}(L^2) 오차 추정을 도출한다. 이 정식화는 세 개의 변수, 즉 스칼라 미지수, 기울기 및 플럭스를 명시적으로 취급함으로써 표준 혼합 정식을 확장한다. 이를 바탕으로 준선형 소보레프 방정식에 대한 유한요소 반이산(semidiscrete) 근사 및 완전이산(fully discrete) 근사를 구성한다. 우리는 u, $-ablau$, 그리고 $-ablau-abla{u}_t$의 반이산 근사의 존재성을 증명하고, L^{ infty}(L^2) 노름에서 최적 차수의 오차 추정을 얻는다. 또한 완전이산 근사를 구성하고 {ll}^{ infty}(L^2) 노름에서 근사의 최적 수렴성을 분석한다. 마지막으로 계산 결과를 제시한다.